唯一分解整环

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

唯一分解整环指任意非零元素都能唯一分解不可约元乘积的整环. 这里, 不可约元也就是不能进一步分解的元素. 例如, 整数环 $\mathbb{Z}$ 是唯一分解整环, 这是由于算术基本定理: 每个正整数都能唯一写成素数的积. 又例如, 二次整数环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 不是唯一分解整环, 因为在其中有$$6=(1+\sqrt{-5})\cdot (1-\sqrt{-5})=2\cdot 3,$$而其中各因子都是不可约元.

1定义

定义 1.1. 称整环 $A$ 为唯一分解整环, 如果满足下列等价条件:

•	任意非零元素 $x\in A$ 都能写成$$x=u{p}_1\cdots p_n$$的形式, 其中 $u$ 是单位, 且各 $p_i$ 是素元.

•	任意非零元素 $x\in A$ 都能写成$$x=u{p}_1\cdots p_n$$的形式, 其中 $u$ 是单位, 且各 $p_i$ 是不可约元. 并且, 这种写法是唯一的: 若 $x=u^{\prime }{p}_1^{\prime }\cdots p_m^{\prime }$ 是另一种写法, 则 $m=n$, 且存在单位 $u_1,\dots ,u_n\in A$, 使得 $(p_1^{\prime },\dots ,p_m^{\prime })$ 是 $(u_1{p}_1,\dots ,u_n{p}_n)$ 的重排.

在唯一分解整环中, 不可约元与素元是等价的概念. 因此, 上述定义中的两种分解实际上总是相同的, 且均满足定义中所述的唯一性.

这里, 使用相差单位意义下的唯一性是有必要的. 例如, 在整数环 $\mathbb{Z}$ 中, 元素 $6\in \mathbb{Z}$ 可以写成 $2\cdot 3$ 或 $(-2)\cdot (-3)$, 但它们本质上是同一种分解, 故仍然算作满足唯一性.

另外, 在唯一分解整环中, 非零、非单位的元素总是能写成 $p_1\cdots p_n$ 的形式, 其中 $p_1,\dots ,p_n$ 为素元、不可约元. 在上述定义中, 在乘积中加入单位 $u$ 是为了使 $x$ 为单位时也满足条件, 此时取 $n=0$.

2例子

•	算术基本定理表明, 整数环 $\mathbb{Z}$ 是唯一分解整环.

•	所有主理想整环都是唯一分解整环.

•	由 Auslander–Buchsbaum 定理, 正则局部环都是唯一分解整环.

3性质

等价刻画

命题 3.1. 对整环 $A$ 而言, 如下条件都等价:

•	$A$ 是唯一分解整环.

•	$A$ 的任何非零理想都含有素元.

•	$A$ 中不存在主理想组成的无限严格升链 (所谓严格指上一项是下一项的真子集) , 且存在 $A$ 的一些素元组成的集合 $\Gamma$ 使其生成的乘闭子集 $S$ 满足 $S^{-1}A$ 是唯一分解整环.

若整环 $A$ 还是 Noether 环, 则还有:

命题 3.2. 对 Noether 整环 $A$ 来说, 如下条件等价:

•	$A$ 是唯一分解整环.

•	$A$ 中高度 $1$ 的素理想都是主理想.

基本性质

命题 3.3. 对唯一分解整环 $A$ 有:

•	任何不可约元都是素元.

•	任何两个元素都有最大公因子和最小公倍元.

•	$A$ 是整闭整环.

•	$A$ 的任何局部化也是唯一分解整环.

•	$A$ 上的多项式环 $A[x]$ 也是唯一分解整环.

命题 3.4. 对唯一分解整环 $A$ 的理想 $I$, 若 $I$ 作为 $A$-模是投射模则 $I$ 是主理想.

证明. ...

$\square$

由上面命题可以得到:

命题 3.5. 对正则唯一分解整环 $A$, $A$ 上的幂级数环 $A[[X]]$ 也是唯一分解整环.

证明. ...

$\square$

4相关概念

•	正则局部环
•	素元、不可约元
•	代数数论

术语翻译

唯一分解整环 • 英文 unique factorization domain (UFD) • 德文 faktorieller Ring (m) • 法文 anneau factoriel (m) • 日文 一意分解環