交错群

$n$ 元交错群 (或偶置换群) ${\mathfrak{A}}_n$ 是所有 $n$ 元偶置换构成的群, 其中 $n$ 是自然数.

交错群 ${\mathfrak{A}}_n$ 是置换群 ${\mathfrak{S}}_n$ 的正规子群, 并且有$$[{\mathfrak{S}}_n:{\mathfrak{A}}_n]=\{\begin{array}{ll}1,& n=0,1,\\ 2,& n\ge 2.\end{array}$$换言之, 在至少 $2$ 个元素的有限集上, 偶置换和奇置换数量相等, 各占总置换数量的一半. 因为 ${\mathfrak{S}}_0,{\mathfrak{S}}_1$ 平凡, 所以大多数时候我们仅在 $n\ge 2$ 时研究交错群 ${\mathfrak{A}}_n$.

1定义

定义 1.1 (交错群). 有限集 $X$ 上的交错群 ${\mathfrak{A}}_X$ 是置换群 ${\mathfrak{S}}_X$ 中所有偶置换构成的子群.

特别地, 当 $X=\{1,\dots ,n\}$ 时, 也将 ${\mathfrak{A}}_X$ 记为 ${\mathfrak{A}}_n$.

2性质

生成元

在置换群 ${\mathfrak{S}}_n$ 中, 对两两不同的 $i,j,k\in \{1,\dots ,n\}$, 有$$(ijk)=(ik)(ij)(ik{)}^{-1}(ij{)}^{-1}.$$从而 $(ijk)\in {\mathfrak{A}}_n$. 事实上, 这样的轮换构成 ${\mathfrak{A}}_n$ 的一组生成元.

命题 2.1 (三轮换生成). 交错群 ${\mathfrak{A}}_n$ 由其中的三轮换 $(ijk)$ 生成.

证明. (...)

$\square$

小群结构

比较值得介绍的是 ${\mathfrak{A}}_4,{\mathfrak{A}}_5$ 的结构.

(...)

单性

定理 2.2. 当 $n\ge 5$ 时, ${\mathfrak{A}}_n$ 为非交换单群.

交错群是有限单群分类中的一族.

证明. (...)

$\square$

自同构

交错群 ${\mathfrak{A}}_n$ 的自同构群在大多数时候都是 ${\mathfrak{S}}_n$. 注意到 ${\mathfrak{A}}_n⊴{\mathfrak{S}}_n$ 是正规子群, 而且 $n$ 很大时 ${\mathfrak{A}}_n$ 的中心化子是 ${\mathfrak{S}}_n$, 所以自同构作用就是 ${\mathfrak{S}}_n$ 上的共轭作用.

实际上, 当 $n>1,n\ne 2,3,6$ 时 $\mathrm{Aut}({\mathfrak{A}}_n)={\mathfrak{S}}_n,\mathrm{Out}({\mathfrak{A}}_n)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

当 $n=2$ 时, 因为是平凡群, 故 $\mathrm{Aut}({\mathfrak{A}}_2)=\mathrm{Out}({\mathfrak{A}}_2)$ 都平凡;

当 $n=3$ 时, 此时是循环群, 故 $\mathrm{Aut}({\mathfrak{A}}_3)=\mathrm{Out}({\mathfrak{A}}_3)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 是域乘法群 ${\mathbb{F}}_3^{\times }$.

比较有趣的情况是 $n=6$, 此时 $\mathrm{Aut}({\mathfrak{A}}_6)=S_6⋊(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$, 而外自同构群 $\mathrm{Out}({\mathfrak{A}}_6)=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^2$.

(...)

群同调

交错群 ${\mathfrak{A}}_n$ 的群同调在 $n$ 充分大时会稳定. 首先是 $H_1$, 就是交换化, 我们有: $$\begin{array}{rl}{H}_1({\mathfrak{A}}_2,\mathbb{Z})& =\{1\},\\ H_1({\mathfrak{A}}_3,\mathbb{Z})=H_1({\mathfrak{A}}_4,\mathbb{Z})& =\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\\ H_1({\mathfrak{A}}_n,\mathbb{Z})& =\{1\},n\ge 5.\end{array}$$

然后是 $H_2$, 即 Schur 乘子, 我们有:

$$\begin{array}{rl}{H}_2({\mathfrak{A}}_2,\mathbb{Z})=H_2({\mathfrak{A}}_3,\mathbb{Z})& =\{1\},\\ H_2({\mathfrak{A}}_4,\mathbb{Z})=H_2({\mathfrak{A}}_5,\mathbb{Z})& =\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\\ H_2({\mathfrak{A}}_6,\mathbb{Z})=H_2({\mathfrak{A}}_7,\mathbb{Z})& =\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},\\ H_2({\mathfrak{A}}_n,\mathbb{Z})& =\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},n\ge 8.\end{array}$$

(...)

表示论

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3相关概念

术语翻译

交错群 • 英文 alternating group • 德文 alternierende Gruppe (f) • 法文 groupe alterné (m) • 拉丁文 caterva alterna (f) • 古希腊文 ἀλλάττουσα ὁμάς (f)