半直积

在群论中, 半直积是群的直积的推广, 是一种 “带有扭转” 的积. 具体而言, 给定以下信息:

•

群 $N,H$.

•	群同态 $\phi :H\to \mathrm{Aut}(N)$, 其中后者是群 $N$ 的自同构群. 换言之, $\phi$ 是 $H$ 在 $N$ 上的群作用.

则可定义半直积 $G=N{⋊}_{\phi }H$, 常常简记为 $G=N⋊H$ 或 $G=H⋉N$, 它满足分裂短正合列$$1\to N\to G\to H\to 1,$$其中 $1$ 表示平凡群. 换言之, 有满群同态 $G\to H$, 其核为正规子群 $N⊲G$, 并且还有含入映射 $H\hookrightarrow G$, 它与上述满射 $G\to H$ 的复合为 $H$ 上的恒同映射. 这里, 选取不同的 $\phi$ 能得到不同的 $G$, 均满足上述性质; 反过来, 满足上述性质的 $G$ 一定能由半直积得到 (定理 2.1).

在上述记号下, 当 $\phi$ 选取为取值为恒同映射 $1_N$ 的常值映射时, 即取 $H$ 在 $N$ 上的平凡作用时, 半直积 $N{⋊}_{\phi }H$ 与直积 $N\times H$ 相同.

半直积的构造也可以推广到带额外结构的群, 例如拓扑群、Lie 群、代数群等.

1定义

定义 1.1. 给定以下信息:

•

群 $N,H$.

•	群同态 $\phi :H\to \mathrm{Aut}(N)$, 其中后者是群 $N$ 的自同构群. 换言之, $\phi$ 是 $H$ 在 $N$ 上的群作用.

则 $N,H$ 关于 $\phi$ 的半直积, 记为 $G=N{⋊}_{\phi }H$, 是以下定义的群:

•	其底集为积集 $N\times H$.

•	其单位元为 $e_G=(e_N,e_H)$, 其中 $e_N,e_H$ 分别为 $N,H$ 的单位元.

•	其乘法定义为 $(n_1,h_1)\cdot (n_2,h_2)=(n_1\phi (h_1)(n_2),h_1{h}_2)$.

•	元素 $(n,h)$ 的逆元是 $(\phi (h^{-1})(n^{-1}),h^{-1})$.

2性质

定理 2.1. 设 $G$ 是群, $N$、$H$ 是其子群, 满足:

•	$N$ 是 $G$ 的正规子群;
•	$H\cap N=1$;
•	$HN=G$;

定义 $\phi :H\to \mathrm{Aut}(N)$ 为 $\phi (h)(n)=hn{h}^{-1}$. 则 $(n,h)\mapsto nh$ 给出群同构 $N{⋊}_{\phi }H\cong G$.

3例子

•	二面体群 ${\mathrm{D}}_{2n}$ 是循环群 ${\mathrm{C}}_n$ 与 ${\mathrm{C}}_2$ 的半直积, 其中 ${\mathrm{C}}_2$ 作用于 ${\mathrm{C}}_n$, 将后者的每个元素映至其逆元.

•	正交群 ${\mathrm{O}}_n$ 是特殊正交群 $\mathrm{SO}(n)$ 与循环群 ${\mathrm{C}}_2$ 的半直积.

4相关概念

术语翻译

半直积 • 英文 semidirect product • 德文 semidirektes Produkt (n) • 法文 produit semi-direct (m) • 日文 半直積 • 韩文 반직접곱