既约环

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

交换代数中, 既约环指没有非零幂零元的环. 它在代数几何中对应于没有加厚, 或者说没有无穷小延伸的对象.

1定义

定义 1.1. $R$ 是环. 称 $R$ 既约, 指的是其没有非零幂零元, 即只要 $r\in R$ 和 $n\in \mathbb{N}$ 满足 $r^n=0$, 就有 $r=0$.

2例子

以下 $k$ 是随便一个域.

•	整环是既约环.
•	$k[x]/(x^2)$ 不是既约环.
•	$k[x,y]/(x^2,xy)$ 不是既约环.

3性质

命题 3.1. 既约环的子环、乘积、局部化都还是既约环.

证明. 只有局部化没那么显然. 设 $R$ 是既约环, $S$ 是其乘性子集. 如 $r/s\in S^{-1}R$ 幂零, 设其 $n$ 次方为 $0$. 则依定义存在 $t\in S$ 使得在 $R$ 中 $t{r}^n=0$. 这样有 $(tr{)}^n=0$, 由 $R$ 既约得到 $tr=0$. 于是在 $S^{-1}R$ 中 $r/s=tr/ts=0$.

$\square$

每个环都能通过商去幂零根得到既约环:

定理 3.2. 既约环的范畴到所有环的范畴的含入函子有左伴随, 即商去幂零根. 这一操作称为既约化.

证明. 如 $R$ 是环, $I$ 是其幂零根, 则 $R/I$ 既约: 因为如果其中元素 $\bar{r}$ 幂零, 任取其原像 $r$, 则存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $r^n\in I$; 这说明 $r^n$ 幂零, 即存在 $m\in \mathbb{N}$ 使得 $r^{nm}=0$; 于是 $r$ 也幂零, $r\in I$, $\bar{r}=0$.

商去幂零根这一操作显然具有函子性. 要说明它是左伴随, 需要对既约环 $S$ 说明 $\mathrm{Hom}(R,S)=\mathrm{Hom}(R/I,S)$. 这是显然的: 由于 $S$ 既约, 同态将幂零元映射到幂零元, $R$ 到 $S$ 的同态都把幂零根 $I$ 映射到 $0$, 也就相当于 $R/I$ 到 $S$ 的同态.

$\square$

既约相当于一种很弱的同调正则性. 以下定理是既约环的 ${\text{R}}_0{\text{S}}_1$ 判别法; 正规环的 ${\text{R}}_1{\text{S}}_2$ 判别法也属此类.

定理 3.3. 环 $R$ 既约当且仅当以下两条件成立:

$({\text{R}}_0)$	对 $R$ 的任一极小素理想 $\mathfrak{p}$, $R_{\mathfrak{p}}$ 是域.
$({\text{S}}_1)$	对任一非零元 $r\in R$, 理想 $\mathrm{Ann}(r)$ 上极小的素理想都是 $R$ 的极小素理想. 换言之, $R$ 的弱结合素理想都极小.

证明. 先从既约证 ${\text{R}}_0{\text{S}}_1$. 只需对任一非零元 $r\in R$ 以及 $I=\mathrm{Ann}(r)$ 上任一极小素理想 $\mathfrak{p}$ 证明 $R_{\mathfrak{p}}$ 是域: 这样取 $r=1$ 便得到 ${\text{R}}_0$, 对一般的 $r$ 即得到 ${\text{S}}_1$. 由于 $\mathfrak{p}$ 在 $I$ 上极小, $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$ 也在 $I{R}_{\mathfrak{p}}$ 上极小, 从而 $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}=\sqrt{I{R}_{\mathfrak{p}}}$. 现如果 $r\in \mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$, 则存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $r^n\in I{R}_{\mathfrak{p}}$; 而 $I=\mathrm{Ann}(r)$, 从而 $r^{n+1}=0$. 由于 $R$ 既约, $R_{\mathfrak{p}}$ 也既约, 所以在 $R_{\mathfrak{p}}$ 中 $r=0$. 而这导致 $I{R}_{\mathfrak{p}}={\mathrm{Ann}}_{R_{\mathfrak{p}}}(r)=1$, 与 $\mathfrak{p}\supseteq I$ 矛盾! 故 $r\notin \mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}$. 这样一来 $r\in R_{\mathfrak{p}}$ 就可逆, $I{R}_{\mathfrak{p}}=0$. 于是 $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}=\sqrt{I{R}_{\mathfrak{p}}}=\sqrt{0}$, 这样由既约得 $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}=0$, $R_{\mathfrak{p}}$ 是域.

再从 ${\text{R}}_0{\text{S}}_1$ 证既约. 用反证法, 设 $r\in R$ 是非零幂零元, 则首先 $r$ 在每个素理想中. 仍记 $I=\mathrm{Ann}(r)$ 并取其上极小的素理想 $\mathfrak{p}$. 则由 ${\text{S}}_1$, $\mathfrak{p}$ 在 $R$ 中极小; 再由 ${\text{R}}_0$, $R_{\mathfrak{p}}$ 是域, $\mathfrak{p}{R}_{\mathfrak{p}}=0$. 这样由 $r\in \mathfrak{p}$, $r$ 在 $R_{\mathfrak{p}}$ 中等于 $0$, 于是 $I{R}_{\mathfrak{p}}={\mathrm{Ann}}_{R_{\mathfrak{p}}}(r)=1$, 与 $I\subseteq \mathfrak{p}$ 矛盾! 故 $R$ 没有非零幂零元, 它既约.

$\square$

注 3.4. 上面证明的第一段说明, 对既约环 $R$ 及其非零元 $r$, 总有极小素理想 $\mathfrak{p}$ 使得其在 $R_{\mathfrak{p}}$ 的像非零. 于是对既约环 $R$, 映射$$R\to \prod _{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}R极小}{R}_{\mathfrak{p}}$$总是单射. 特别地, 既约环总是一些域乘积的子环.

对既约环上有限生成模, 平坦和投射有如下纤维判别法:

定理 3.5. $R$ 是既约环, $M$ 是有限生成 $R$-模. 考虑函数 $\rho :\mathrm{Spec}R\to \mathbb{N}$, $$\rho (\mathfrak{p})={\dim }_{k(\mathfrak{p})}(M{\otimes }_{R}k(\mathfrak{p})).$$则 $M$ 平坦当且仅当对任意素理想 $\mathfrak{p}\supseteq \mathfrak{q}$, $\rho (\mathfrak{p})=\rho (\mathfrak{q})$; $M$ 投射当且仅当 $\rho$ 为局部常.

证明. 如果 $M$ 平坦, 则由于平坦是局部性质, 且局部环上有限生成平坦模自由, 有 $M_{\mathfrak{p}}$ 是有限秩自由 $R_{\mathfrak{p}}$-模. 这样对 $\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{p}$ 当然有 $\rho (\mathfrak{q})=\rho (\mathfrak{p})$. 反过来, 设有此条件, 要证 $M$ 平坦. 只需对任意素理想 $\mathfrak{p}$ 证明 $M_{\mathfrak{p}}$ 作为 $R_{\mathfrak{p}}$-模平坦. 对 $\mathfrak{p}$ 局部化不改变条件, 故可假设 $(R,\mathfrak{p})$ 是局部环, 这样条件表明 $\rho$ 是常值. 取 $x_1,\dots ,x_{\rho }\in M$ 使其在 $M/\mathfrak{p}M$ 的像是一组基. 则由 Nakayama 引理, 这些元素给出的映射 $R^{\rho }\to M$ 满. 以 $K$ 记其核, 则有短正合列$$0\to K\to R^{\rho }\to M\to 0.$$对 $R$ 的任一极小素理想 $\mathfrak{q}$, 将以上正合列对 $\mathfrak{q}$ 局部化. 由 $R$ 既约, $R_{\mathfrak{q}}$ 是域, 从而条件说明 $M_{\mathfrak{q}}$ 是 $R_{\mathfrak{q}}$ 上的 $\rho$ 维线性空间. 现在 $R_{\mathfrak{q}}^{\rho }\to M_{\mathfrak{q}}$ 是满射, 所以也是单射, $K_{\mathfrak{q}}=0$. 而由注 3.4, $R\hookrightarrow {\prod }_{\mathfrak{q}极小}{R}_{\mathfrak{q}}$, $K\subseteq R^{\rho }$, 故$$K\hookrightarrow \prod _{\mathfrak{q}极小}{K}_{\mathfrak{q}},$$所以 $K=0$. 这样 $M\cong R^{\rho }$ 为平坦.

如果 $M$ 投射, 则其在一个 Zariski 开覆盖上自由; 对自由模, 函数 $\rho$ 显然为常值; 故对投射模其为局部常值. 反过来如 $\rho$ 局部常, 需要证 $M$ 在一个 Zariski 开覆盖上自由, 即对任一素理想 $\mathfrak{p}$, 要证明存在 $r\notin \mathfrak{p}$ 使得 $M_r$ 是自由 $R_r$-模. 注意在证明过程中, 我们可以把 $R$ 换成其局部化 $\mathfrak{p}$ 之外的任一元素. 首先由 $\rho$ 局部常, 局部化适当的 $r\notin \mathfrak{p}$, 可设 $\rho$ 为常值. 取 $x_1,\dots ,x_{\rho }\in M_{\mathfrak{p}}$ 使其在 $M_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}{M}_{\mathfrak{p}}$ 的像是一组基. 局部化这些元素的公分母, 可设它们属于 $M$. 于是它们给出映射 $R^{\rho }\to M$, 其余核在 $\mathfrak{p}$ 处局部化为 $0$. 由于此余核有限生成, 局部化一个零化这些生成元的元素, 可设它就是 $0$, 即 $R^{\rho }\twoheadrightarrow M$. 现取其核 $K$, 作短正合列$$0\to K\to R^{\rho }\to M\to 0,$$并作上一段中论证, 便知 $K=0$, $M\cong R^{\rho }$ 自由.

$\square$

4相关概念

•	正规环
•	既约概形

术语翻译

既约环 • 英文 reduced ring • 德文 reduzierter Ring • 法文 anneau réduit

既约化 (动词) • 英文 reduce • 德文 reduzieren • 法文 réduire