充实 (∞,1)-范畴

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

充实 $(\infty ,1)$-范畴是充实范畴的 $(\infty ,1)$-范畴论类比.

1定义

和 $1$-范畴论中不同, 这里需要编码高阶的连贯性, 这相当不平凡. 一个比较自然的办法是采用弱充实 $(\infty ,1)$-范畴. 请读者先熟悉该条目, 这里将采用其定义与记号.

定义 1.1. 设 $\mathcal{V}$ 是幺半范畴, $\mathcal{C}$ 是伪 $\mathcal{V}$-充实范畴. 换言之, $\mathcal{C}$ 是弱 $\mathcal{V}$-充实范畴, 且对 $n\in \mathbb{N}$ 以及任意 $V_1,\dots ,V_n\in \mathcal{V}$, 自然映射$${\mathrm{Mul}}_{\mathcal{C}}(V_1\otimes \cdots \otimes V_n,X;Y)\to {\mathrm{Mul}}_{\mathcal{C}}(V_1,\dots ,V_n,X;Y)$$都是同构.

对 $X,Y\in \mathcal{C}$, 定义态射预层$${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{C}}(X,Y)=(V\mapsto {\mathrm{Mul}}_{\mathcal{C}}(V,X;Y))\in \mathsf{P}(\mathcal{V}),$$其中 $\mathrm{Mul}$ 表示弱充实范畴中的多重态射生象. 称 $\mathcal{C}$ 为 $\mathcal{V}$-充实范畴, 指其中所有的态射预层都可表. 此时定义 $\mathcal{C}$ 中两个对象的态射对象为表示态射预层的 $\mathcal{V}$ 中对象, 仍记作 ${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{C}}(-,-)$.

所有的小 $\mathcal{V}$-充实范畴构成的范畴记作 ${\mathsf{Cat}}_{\mathcal{V}}$. 一般而言 ${\mathsf{Cat}}_{\mathcal{V}}$ 并不 $\mathcal{V}$-充实, 正如一般环的左模之间的映射不再具有模结构.

注 1.2. 回忆弱充实 $(\infty ,1)$-范畴条目中的记号约定: $\mathcal{C}$ 本来是弱 $\mathcal{V}$-充实范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to \mathsf{LM}$ 的底范畴. 故对 $X,Y\in \mathcal{C}$ 自然有态射生象 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)$. 由于 $\mathcal{C}$ 是伪 $\mathcal{V}$-充实范畴, $${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)={\mathrm{Mul}}_{\mathcal{C}}(X;Y)={\mathrm{Mul}}_{\mathcal{C}}(1,X;Y)={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{V}}(1,{\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{C}}(X,Y)).$$

2例子

•	如 $\mathcal{V}$ 是左闭幺半范畴, 则它典范充实于自身.

•	$(\infty ,n+1)$-范畴就是充实于 $(\infty ,n)$-范畴的范畴. 具体地说, 对 $n\in \mathbb{N}$, 以 ${\mathsf{Cat}}_{(\infty ,n)}$ 记 $(\infty ,n)$-范畴组成的 $(\infty ,1)$-范畴, 则 ${\mathsf{Cat}}_{(\infty ,n+1)}={\mathsf{Cat}}_{{\mathsf{Cat}}_{(\infty ,n)}}$. 依赖于所采用的 $(\infty ,n)$-范畴的定义, 这可能是定义也可能是定理.

术语翻译

充实 $(\infty ,1)$-范畴 • 英文 enriched $(\infty ,1)$-category