子集

集合 $X$ 的子集是由 $X$ 的一部分元素组成的集合.

集合 $X$ 的所有子集的集合称为其幂集, 常记为 $2^X$, 它具有 Boole 代数的结构, 其子代数称为集合代数.

1定义

定义 1.1 (子集). 设 $X,Y$ 为集合. 如果对任意 $y\in Y$, 都有 $y\in X$, 就说 $Y$ 是 $X$ 的子集, 记为$$Y\subset X\text{或}Y\subseteq X.$$

此时, 也称 $X$ 包含 $Y$, 或称 $Y$ 包含于 $X$. 偶尔也称 $X$ 是 $Y$ 的超集, 记为 $X\supset Y$ 或 $X\supseteq Y$.

定义 1.2 (真子集). 设 $X,Y$ 为集合. 若 $Y\subset X$ 且 $Y\ne X$, 则称 $Y$ 为 $X$ 的真子集, 记为$$Y⊊X\text{或}Y⫋X.$$

此时, 也称 $X$ 真包含 $Y$, 或称 $Y$ 真包含于 $X$. 偶尔也称 $X$ 是 $Y$ 的真超集, 记为 $X⊋Y$ 或 $X⫌Y$.

2例子

•	空集是任何集合的子集; 任何集合是自身的子集.

•	子集的子集仍是子集; 一族子集的并、交仍是子集; 子集的补集仍是子集.

3相关概念

•	子空间
•	子对象

术语翻译

子集 • 英文 subset • 德文 Teilmenge (f) • 法文 sous-ensemble (m) • 拉丁文 succopia (f) • 古希腊文 ὑποσύνολον (n)

真子集 • 英文 proper subset • 德文 echte Teilmenge • 法文 sous-ensemble propre • 拉丁文 succopia propria • 古希腊文 γνήσιον ὑπερσυνολον

超集 • 英文 superset • 德文 Obermenge (f) • 法文 sur-ensemble (m) • 拉丁文 supercopia (f) • 古希腊文 ὑπερσύνολον (n)

真超集 • 英文 proper superset • 德文 echte Obermenge • 法文 sur-ensemble propre • 拉丁文 supercopia propria • 古希腊文 γνήσιον ὑπερσύνολον