第二可数空间

第二可数空间是指满足第二条可数公理的拓扑空间, 即有可数拓扑基的空间.

1定义

定义 1.1 (第二可数空间). 拓扑空间 $X$ 称为第二可数空间, 如果它有一组可数的拓扑基.

2性质

命题 2.1. 第二可数空间的子空间第二可数.

命题 2.2. 至多可数个第二可数空间的积空间第二可数.

命题 2.3. 第二可数空间第一可数、可分、Lindelöf.

推论 2.4. 第二可数的正则空间正规.

3例子

例 3.1. $\mathbb{R}$ 是第二可数空间, 其一个可数基是$$\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb{Q}\}.$$

例 3.2. 考虑左闭直线 ${\mathbb{R}}_{\ell }$, 即实数集 $\mathbb{R}$ 上由开集基$$\{[a,b)\mid a,b\in \mathbb{R},a<b\}$$生成的拓扑. 则它第一可数、可分、Lindelöf, 但不第二可数, 因为 ${\mathbb{R}}_{\ell }^2$ 不 Lindelöf.

4相关概念

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第一可数空间

术语翻译

第二可数空间 • 英文 second-countable space • 德文 zweitabzählbarer Raum • 法文 espace à base dénombrable • 拉丁文 spatium baseos numerabilis • 古希腊文 χῶρος ἀριθμητῆς βάσεως