Lindelöf 空间

Lindelöf 空间是一类拓扑空间, 其每个开覆盖都有可数子覆盖. 它既是一种紧性, 又是一种可数性.

1定义

定义 1.1. 称拓扑空间 $X$ 为 Lindelöf 空间, 指其每个开覆盖都有可数子覆盖. 换言之, 对任意开覆盖 $\mathcal{U}=\{U_i\subseteq X{\}}_{i\in I}$, 存在子集 $J\subseteq I$ 至多可数, 使得$$\bigcup _{i\in J}{U}_i=X.$$

2性质

命题 2.1. Lindelöf 空间的闭子空间 Lindelöf.

证明. 与紧集的闭子集紧证明一样. 设 $X$ 是 Lindelöf 空间, $Y\subseteq X$ 是其闭子空间. $\mathcal{V}=\{V_i\subseteq Y{\}}_{i\in I}$ 是 $Y$ 的开覆盖. 取开子集 $U_i\subseteq X$ 使得 $U_i\cap Y=V_i$, 则所有的 $U_i$ 连同 $X\setminus Y$ 构成 $X$ 的开覆盖. 它的可数子覆盖给出 $\mathcal{V}$ 的可数子覆盖, 因为 $X\setminus Y$ 不参与覆盖 $Y$.

$\square$

命题 2.2. Lindelöf 空间在连续映射下的像 Lindelöf.

证明. 与紧集的像集紧证明一样.

$\square$

命题 2.3. 设 $X$ 是拓扑空间, $\mathcal{B}$ 是其开集基. 如 $\mathcal{B}$ 中开集组成的开覆盖 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{B}$ 都有可数子覆盖, 则 $X$ 是 Lindelöf 空间.

定理 2.4. 正则 Lindelöf 空间正规.

证明. 设 $X$ 是正则 Lindelöf 空间, $Y,Z\subseteq X$ 为不交的闭子集. 用正则性, 对每个 $y\in Y$ 取不交开集 $U_y\ni y$ 和 $T_y\supseteq Z$. 由命题 2.1, $U_y$ 之中的可数个足以覆盖 $Y$, 设为 $U_1,U_2,\dots$, 对应于 $T_1,T_2,\dots \supseteq Z$. 对每个正整数 $n$, 把 $T_n$ 换成 ${\bigcap }_{i=1}^n{T}_i$, 可设 $T_1\supseteq T_2\supseteq \cdots \supseteq Z$. 把 $Y$ 和 $Z$ 换过来, 可同样地取开集 $V_1,V_2,\dots$ 覆盖 $Z$ 以及 $S_1\supseteq S_2\supseteq \cdots \supseteq Y$, 满足对任意正整数 $i$, $V_i\cap S_i=\varnothing$. 令$$A=\bigcup _{i=1}^{\infty }(U_i\cap S_i),B=\bigcup _{j=1}^{\infty }(V_j\cap T_j),$$则 $A$、$B$ 都是开集, 且 $A\supseteq Y$, $B\supseteq Z$. 下证 $A\cap B=\varnothing$. 为此只需对任意 $i,j\in {\mathbb{Z}}_{+}$ 证明 $U_i\cap S_i\cap V_j\cap T_j=\varnothing$. 我们分两种情况: 如 $i\le j$, 则 $T_j\subseteq T_i$, 故 $U_i\cap T_j\subseteq U_i\cap T_i=\varnothing$; 如 $i\ge j$, 则 $S_i\subseteq S_j$, 故 $S_i\cap V_j\subseteq S_j\cap V_j=\varnothing$. 不论如何都有 $U_i\cap S_i\cap V_j\cap T_j=\varnothing$.

$\square$

定理 2.5. 对度量空间, 可分、Lindelöf、第二可数等价.

3例子

•	显然紧空间都 Lindelöf. 更一般地, $\sigma$-紧空间都 Lindelöf.

•	第二可数空间都 Lindelöf.

•	不可数的离散空间不 Lindelöf.

例 3.1. 考虑左闭直线 ${\mathbb{R}}_{\ell }$, 即实数集 $\mathbb{R}$ 上由开集基$$\{[a,b)\mid a,b\in \mathbb{R},a<b\}$$生成的拓扑.

•

${\mathbb{R}}_{\ell }$ 是 Lindelöf 空间. 取其开覆盖 $\mathcal{U}=\{U_i\subseteq X{\}}_{i\in I}$, 我们来证明它有可数子覆盖. 由于 $\mathbb{R}={\bigcup }_{n,m\in \mathbb{Z}}[n,m)$, 只需对任意 $a,d\in \mathbb{R}$ 证明 $[a,d)$ 被 $\mathcal{U}$ 中的可数个开集覆盖. 为此考虑集合$$S=\{b\in \mathbb{R}\mid \text{[a,b) 被 U 中的可数个开集覆盖}\}.$$ ∘ 如 $b\le a$, 则 $b\in S$, 因为此时 $[a,b)=\varnothing$. ∘ 如一列实数 $b_1,b_2,\dots$ 都属于 $S$, 则 $b={\sup }_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}{b}_n$ 属于 $S$, 因为此时$$[a,b)=\bigcup _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}[a,b_n).$$ ∘ 如 $b\in S$, 则存在 $c>b$ 使得 $[b,c)\subseteq S$. 这是因为 $\mathcal{U}$ 是开覆盖, 从而存在 $i\in I$ 使得 $b\in U_i$; 又因为 $U_i\subseteq {\mathbb{R}}_{\ell }$ 是开集, 存在 $c>b$ 使得 $[b,c)\subseteq U_i$; 这样, 覆盖 $[a,b)$ 的可数个开集连同 $U_i$ 便覆盖 $[a,c)$. 所以 $S=\mathbb{R}$, 命题得证.

•

积空间 ${\mathbb{R}}_{\ell }^2$ 不是 Lindelöf 空间. 这是因为其闭子空间$$\{(x,y)\in {\mathbb{R}}_{\ell }^2\mid x+y=0\}$$是不可数的离散空间, 不 Lindelöf. 故 Lindelöf 空间的积空间未必 Lindelöf. 本例也说明可分空间未必 Lindelöf, 因为 ${\mathbb{R}}_{\ell }^2$ 可分, 具有稠密子集 ${\mathbb{Q}}^2$.

术语翻译

Lindelöf 空间 • 英文 Lindelöf space