σ-紧空间

$\mathbf{\sigma }$-紧空间指紧集的可数并.

1定义

定义 1.1. 称拓扑空间 $X$ 为 $\mathbf{\sigma }$-紧空间, 指其有一列紧子集 $K_1,K_2,\dots$, 满足$$X=\bigcup _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}{K}_n.$$

2例子

例 2.1. 设 $X$ 是紧空间, $Z\subseteq X$ 为闭子集. 则 $X\setminus Z$ 是 $\sigma$-紧空间当且仅当存在一列开子集 $U_1,U_2,\dots$, 满足$$Z=\bigcap _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}{U}_n.$$换言之, $X\setminus Z$ 是 $\sigma$-紧空间当且仅当 $Z$ 有可数邻域基.

术语翻译

$\sigma$-紧空间 • 英文 $\sigma$-compact space