正规空间

正规空间是一类拓扑空间, 满足以下分离公理: 该空间中任两个不交闭集都有不交的邻域. 正规的 Hausdorff 空间也称为 ${\mathbf{T}}_4$ 空间.

1定义

定义 1.1. 称拓扑空间 $X$ 为正规空间, 若满足以下条件:

•	对任意闭集 $Y,Z\subseteq X$, 如 $Y\cap Z=\varnothing$, 则存在开集 $U\supseteq Y$ 和 $V\supseteq Z$, 使得 $U\cap V=\varnothing$.

若 $X$ 还是 Hausdorff 空间, 则称之为 ${\mathbf{T}}_4$ 空间.

2性质

命题 2.1. 正规空间的闭子空间正规.

定理 2.2 (Urysohn 引理). 设 $X$ 是正规空间, $Y,Z\subseteq X$ 是不交闭子集. 则存在连续函数 $f:X\to [0,1]$ 使得 $f^{-1}(0)\supseteq Y$, $f^{-1}(1)\supseteq Z$.

3例子

例 3.1. 紧 Hausdorff 空间都是正规空间.

例 3.2. 序拓扑都是正规空间. 证明参见条目序拓扑.

例 3.3. 正则 Lindelöf 空间都是正规空间. 证明参见条目 Lindelöf 空间.

例 3.4. 考虑左闭直线 ${\mathbb{R}}_{\ell }$, 即实数集 $\mathbb{R}$ 上由开集基$$\{[a,b)\mid a,b\in \mathbb{R},a<b\}$$生成的拓扑.

•	${\mathbb{R}}_{\ell }$ 是正规空间.
•	${\mathbb{R}}_{\ell }^2$ 不是正规空间.

由此可见正规空间的乘积未必正规. 事实上, 如 Hausdorff 空间 $X$ 满足对任意基数 $\kappa$, 积空间 $X^{\kappa }$ 都正规, 则 $X$ 是紧空间.

例 3.5. 考虑最小无限序数 $\omega$ 和最小不可数序数 ${\omega }_1$, 并沿用序数记号, 记 $\omega +1=\omega \cup \{\omega \}$, ${\omega }_1+1={\omega }_1\cup \{{\omega }_1\}$, 则它们的序拓扑分别为 $\omega$ 和 ${\omega }_1$ 的一点紧化, 于是积空间 $X=(\omega +1)\times ({\omega }_1+1)$ 正规, 因为它紧 Hausdorff. 令 $U=X\setminus (\omega ,{\omega }_1)$, 下证 $U$ 不正规, 从而正规空间的子空间未必正规.

令 $Y=\{(a,b)\in U\mid a=\omega \}$, $Z=\{(a,b)\in U\mid b={\omega }_1\}$, 只需证 $Y$ 和 $Z$ 没有不交邻域.

术语翻译

正规开集 • 英文 normal space • 法文 espace normal