第一可数空间

第一可数空间指每个点都有可数邻域基的拓扑空间.

1定义

定义 1.1 (邻域基). 设 $X$ 是拓扑空间, $x$ 是其中的点. $x$ 的邻域基指开集族 $\{U_i\subseteq X{\}}_{i\in I}$, 满足对任一开集 $U\ni x$, 存在 $i\in I$ 使得 $U_i\subseteq U$.

定义 1.2. 设 $X$ 是拓扑空间. 称 $X$ 第一可数, 指其中每个点都有可数邻域基. 换言之, 对任意 $x\in X$, 存在一列包含 $x$ 的开集 $U_1,U_2,\dots$, 使得对任一开集 $U\ni x$, 都存在正整数 $n$ 使得 $U_n\subseteq U$.

注 1.3. 定义 1.2 中可设 $U_1\supseteq U_2\supseteq \cdots$, 因为可把 $U_n$ 换成 ${\bigcap }_{i=1}^n{U}_i$.

术语翻译

第一可数空间 • 英文 first countable space