正则空间

正则空间是一类拓扑空间, 满足以下分离公理: 该空间中任何闭集和不在其中的点都有不交的邻域. 正则的 Hausdorff 空间也称为 ${\mathbf{T}}_3$ 空间.

1定义

定义 1.1. 称拓扑空间 $X$ 为正则空间, 若满足以下条件:

•	对任意闭集 $F\subseteq X$ 和任意 $x\in X\setminus F$, 存在 $x$ 的邻域 $U$ 和 $F$ 的邻域 $V$, 满足 $U\cap V=\varnothing$.

若 $X$ 还是 Hausdorff 空间, 则称之为 ${\mathbf{T}}_3$ 空间.

2性质

基本性质

•	正则空间的子空间是正则空间.

•	如果拓扑空间 $X$ 的每个点都具有正则的闭邻域, 那么 $X$ 是正则空间.

连续延拓性质

定理 2.1 (连续延拓性质). 设 $X$ 是拓扑空间, $A\subseteq X$ 是稠密子空间, $Y$ 是 ${\mathrm{T}}_3$ 空间, $f:A\to Y$ 是连续映射. 则 $f$ 存在连续延拓 $\bar{f}:X\to Y$ 当且仅当对任意 $x\in X$, 滤子极限$$\underset{y\to x,y\in A}{\lim }f(y)$$存在. 此时 $\bar{f}$ 是 $f$ 在 $X$ 上的唯一延拓.

术语翻译

正则空间 • 英文 regular space • 法文 espace régulier