素理想回避

素理想回避是交换代数中的重要引理, 常与结合素理想一起使用, 以获得非零因子. 它大体说的是, 如一个理想不包含于有限个素理想的并, 则可从中取出元素, 避开任一个素理想.

1定理与证明

定理 1.1. $A$ 为交换环, $I$ 是 $A$ 的理想. ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n$ 也是 $A$ 的理想, 满足对 $i>2$, ${\mathfrak{p}}_i$ 都是素理想. 如对每个 $i$, 均有 $I⊈{\mathfrak{p}}_i$, 则存在 $a\in I$, 满足对每个 $i$, $a\notin {\mathfrak{p}}_i$.

证明. 用归纳法. $n=1$ 时平凡. 假设定理对 $n-1$ 成立, 对每个 $i$, 将归纳假设用在 ${\mathfrak{p}}_i$ 之外的 $n-1$ 个理想上, 得到 $a_i\in I$, 满足对每个 $j\ne i$, $a_i\notin {\mathfrak{p}}_j$. 如有某个 $a_i$ 满足 $a_i\notin {\mathfrak{p}}_i$, 则取 $a=a_i$ 即足. 而如对每个 $i$ 都有 $a_i\in {\mathfrak{p}}_i$, 取 $a=a_1\cdots a_{n-1}+a_n$, 容易验证对每个 $i$ 都有 $a\notin {\mathfrak{p}}_i$.

$\square$

注 1.2. 这里其实并未用到 $I$ 是理想, 只用到它对加法、乘法封闭. 但不知这样减弱条件有什么意义. 此外这里允许 ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n$ 中有两个非素理想, 但实践中非素理想基本上至多一个.

2相关概念

术语翻译

素理想回避 • 英文 prime avoidance • 德文 Primideal-Vermeidung • 法文 évitement des idéaux premiers