筛 (∞,1)-余极限

筛 $(\infty ,1)$-余极限是滤 $(\infty ,1)$-余极限的推广, 粗略来说, 它是滤 $(\infty ,1)$-余极限在有限, 离散时的情况. 其动机大致可以通过下例说明: 对于群范畴 $\mathsf{Grp}$, 其余极限一般难以研究, 我们知道群范畴中的余积是融合积 $G\star H$. 但是即便 $G$ 和 $H$ 的结构相对简单, $G\star H$ 仍然难以研究. 例如, $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 而 $H=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 时, 有 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\star \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 同构于模群 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$. 一般情况下, $G\star H$ 将远大于 $G$ 和 $H$ 作为集合的余积 $G\bigsqcup H$. 换句话说, 遗忘函子这一右伴随 $U:\mathsf{Grp}\to \mathsf{Set}$ 并不保余积. 然而 $U$ 却保持一些别的余极限, 比如对于一列群同态$$G_0\to G_1\to \cdots$$其余极限可以写为其对应集合的余极限配上合适的群结构. 此外遗忘函子还保持商群.
上述两类余极限都可以进行一般化: 一列群同态的余极限即为滤余极限, 而商群是自反余等子的例子. 换句话说, 遗忘函子 $U$ 保持滤过余极限以及自反余等子. 此外, 这一事实可以被推广到一般的在集合上带有 (有限余完备的) 代数结构的范畴. 我们将滤余极限与自反余等子的共同推广称为筛余极限. 而在 $(\infty ,1)$-范畴中, 自反余等子的高阶版本是几何实现 (单纯对象). 因此可以给出筛 $(\infty ,1)$-余极限的刻画.

1定义

定义 1.1 (筛 $(\infty ,1)$-范畴). 称 $(\infty ,1)$-范畴 $K$ 为筛 $(\infty ,1)$-范畴, 是指对于任意有限集 $I$, 对角函子 $K\to K^I$ 都是$(\infty ,1)$-共尾函子.

不难发现其有以下变体:

变体 1.2. 称 $(\infty ,1)$-范畴 $K$ 为余筛 $(\infty ,1)$-范畴, 是指对于任意有限集 $I$, 对角函子 $K\to K^I$ 都是共始函子. 因此, $K$ 为筛 $(\infty ,1)$-范畴当且仅当其反范畴是余筛 $(\infty ,1)$-范畴.

定义 1.3 (筛 $(\infty ,1)$-余极限). 筛 $(\infty ,1)$-余极限是以筛 $(\infty ,1)$-范畴为图表的余极限.

2性质

命题 2.1. 筛 $(\infty ,1)$-范畴均弱可缩.

证明. 只需取 $I=\varnothing$ 可知 $K\to \Delta [0]$ $(\infty ,1)$-共尾. 从而根据 $(\infty ,1)$-共尾函子为弱同伦等价可知其弱可缩.

$\square$

命题 2.2. 滤过 $(\infty ,1)$-范畴均为筛 $(\infty ,1)$-范畴.

证明. 由滤过 $(\infty ,1)$-范畴刻画可知对于任意有限单纯集 $I$, 对角函子 $K\to \mathsf{Fun}(I,K)$ 均 $(\infty ,1)$-共尾. 因此取 $I$ 为离散单纯集即可.

$\square$

命题 2.3. 以下条件等价:

1.	$(\infty ,1)$-范畴 $K$ 是筛 $(\infty ,1)$-范畴.
2.	$K$ 非空且对角函子 $K\to K\times K$ 是 $(\infty ,1)$-共尾函子.

证明. [Lurie 2018, 02QM]

$\square$

结合 Quillen 定理 A 立刻得到

推论 2.4. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, 则 $\mathcal{C}$ 为筛 $(\infty ,1)$-范畴当且仅当对于任意 $X,Y\in \mathcal{C}$, 都有 ${\mathcal{C}}_{/X}{\times }_{\mathcal{C}}{\mathcal{C}}_{/Y}$ 弱可缩.

命题 2.5. 范畴等价保持筛 $(\infty ,1)$-范畴.

证明. [Lurie 2018, 02QK].

$\square$

命题 2.6. 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴间的函子, 且 $\mathcal{C}$ 是余完备范畴, 则 $F$ 保筛 $(\infty ,1)$-余极限当且仅当其保持滤 $(\infty ,1)$-余极限以及单纯对象的几何实现.

证明. [Lurie 2009, Corollary 5.5.8.17]

$\square$

命题 2.7. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, 则其具有余极限当且仅当其具有筛余极限以及有限余积.

证明. 结合 [Lurie 2017, Lemma 1.3.3.10] 以及 [Lurie 2009, Corollary 4.2.3.11] 立刻得知.

$\square$

命题 2.8. 令 $K$ 为筛 $(\infty ,1)$-范畴, $\mathcal{C}$ 为带有有限积以及 $K$-余极限的 $(\infty ,1)$-范畴, 且在 $\mathcal{C}$ 中乘积保持筛 $(\infty ,1)$-余极限, 则余极限函子 $\mathrm{colim}:\mathsf{Fun}(K,\mathcal{C})\to \mathcal{C}$ 与有限乘积交换.

一般情况下要求上述 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-意象.

证明. [Lurie 2009, Lemma 5.5.8.11]

$\square$

命题 2.9. ${\Omega }^{\infty }:{\mathsf{Sp}}_{\ge 0}\to \mathsf{Ani}$ 与筛余极限交换.

证明. [Lurie 2017, Proposition 1.4.3.9]

$\square$

3例子

•	单形范畴的脉 $\mathrm{N}(\mathbb{\Delta })$ 是余筛 $(\infty ,1)$-范畴 (证明见 [Lurie 2018, 02QP]), 从而几何实现均为筛 $(\infty ,1)$-余极限.

4参考文献

•	Jacob Lurie (2018). Kerodon.
•	Jacob Lurie (2009). Higher Topos Theory. Princeton University Press.
•	Jacob Lurie (2017). Higher Algebra.

5相关概念

•	生象化
•	滤 $(\infty ,1)$-余极限

术语翻译

筛 $(\infty ,1)$-范畴 • 英文 sifted $(\infty ,1)$-category

筛 $(\infty ,1)$-余极限 • 英文 sifted $(\infty ,1)$-colimit