Seifert–van Kampen 定理

Seifert–van Kampen 定理, 也称为 van Kampen 定理, 是代数拓扑中的定理, 可以用来计算某些拓扑空间的基本群. 定理的内容大概是说, 基本群的构造保持余极限.

1陈述与证明

我们首先介绍在现代观点下, 使用基本群胚叙述的定理版本.

定理 1.1 (Seifert–van Kampen). 设 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{U}=(U_i{)}_{i\in I}$ 为 $X$ 的开覆盖, 满足 $\mathcal{U}$ 中任两个开集的交仍在 $\mathcal{U}$ 中. 则 $X$ 的基本群胚 ${\Pi }_1(X)$ 可以写成群胚范畴中的 $2$-余极限$${\Pi }_1(X)\simeq \underset{i\in I}{\mathrm{colim}}{\Pi }_1(U_i),$$这里, 余极限图表中的映射为所有含入映射 $U_j\hookrightarrow U_i$ 诱导的映射 ${\Pi }_1(U_j)\to {\Pi }_1(U_i)$, 其中 $i,j\in I$.

特别地, 若开集 $U,V\subset X$ 满足 $X=U\cup V$, 则可以取 $\mathcal{U}=(U,V,U\cap V)$, 从而得到 $2$-推出图表$${\Pi }_1(U\cap V){\Pi }_1(U){\Pi }_1(V){\Pi }_1(X)\text{ .}┘$$此时, ${\Pi }_1(X)$ 等价于粘连群胚$${\Pi }_1(X)\simeq {\Pi }_1(U)\bigsqcup _{{\Pi }_1(U\cap V)}{\Pi }_1(V).$$

证明. (...)

$\square$

在计算中常用的基本群版本是定理 1.1 的推论.

定理 1.2 (Seifert–van Kampen, 基本群版本). 设 $X$ 为道路连通空间, 选取基点 $x\in X$. 设 $\mathcal{U}=(U_i{)}_{i\in I}$ 为 $X$ 的开覆盖, 其中每个 $U_i$ 都道路连通且包含 $x$, 并且 $\mathcal{U}$ 中任两个开集的交仍在 $\mathcal{U}$ 中. 则 $X$ 的基本群 ${\pi }_1(X,x)$ 可以写成群范畴中的余极限$${\pi }_1(X,x)\simeq \underset{i\in I}{\mathrm{colim}}{\pi }_1(U_i,x),$$这里, 余极限图表中的映射为所有含入映射 $U_j\hookrightarrow U_i$ 诱导的映射 ${\pi }_1(U_j,x)\to {\pi }_1(U_i,x)$, 其中 $i,j\in I$.

特别地, 若开集 $U,V\subset X$ 满足 $X=U\cup V$, 并且 $U,V$ 都道路连通且包含 $x$, 则可以取 $\mathcal{U}=(U,V,U\cap V)$, 从而得到群范畴中的推出图表$${\pi }_1(U\cap V,x){\pi }_1(U,x){\pi }_1(V,x){\pi }_1(X,x)\text{ .}┘$$此时, ${\pi }_1(X,x)$ 同构于粘连自由积$${\pi }_1(X,x)\simeq {\pi }_1(U,x)\underset{{\pi }_1(U\cap V,x)}{\ast }{\pi }_1(V,x).$$

证明. (...)

$\square$

2例子

•	由 Seifert–van Kampen 定理, 一族带点拓扑空间 $(X_i,x_i{)}_{i\in I}$ 的单点并 $(X,x_0)={\bigvee }_{i\in I}(X_i,x_i)$ 的基本群是各 $X_i$ 的基本群的自由积: $${\pi }_1(X,x_0)=\underset{i\in I}{\ast }{\pi }_1(X_i,x_i).$$

3参考文献

以下文献 §2.7 讨论了 Seifert–van Kampen 定理:

•	J. P. May (1999). A concise course in algebraic topology. University of Chicago Press. (pdf)

4相关概念

术语翻译

Seifert–van Kampen 定理 • 英文 Seifert–van Kampen theorem • 德文 Satz von Seifert–van Kampen • 法文 théorème de Seifert–van Kampen