Krull 高度定理

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

Krull 高度定理是交换代数的维数理论中的定理. 它说的是 Noether 环上 $d$ 元生成的理想上的极小素理想, 高度不超过 $d$.

1定理与证明

定理 1.1. 设 $A$ 是 Noether 环, $a_1,\dots ,a_d\in A$, $\mathfrak{p}$ 是包含它们的理想中极小者. 则 $\mathrm{ht}\mathfrak{p}\le d$.

证明. 对 $\mathfrak{p}$ 局部化不妨设 $A=A_{\mathfrak{p}}$ 是局部环. 由极小性, $A/(a_1,\dots ,a_d)$ 只有一个素理想 $\mathfrak{p}$, 故为 Artin 环, 于是作为自身的模为有限长, 故也是有限长 $A$-模. 由维数理论的主定理知 $\mathrm{ht}\mathfrak{p}=\dim A\le d$.

$\square$

推论 1.2 (Krull 主理想定理). Noether 环的主理想上素理想中极小者高度不超过 $1$.

证明. 这是定理的 $d=1$ 情形.

$\square$

2相关概念

•

维数理论

术语翻译

Krull 高度定理 • 英文 Krull’s height theorem • 德文 krullsher Höhensatz • 法文 théorème de hauteur de Krull

Krull 主理想定理 • 英文 Krull’s principal ideal theorem • 德文 Krullsher Hauptidealsatz • 法文 théorème des idéaux principaux de Krull