可数集

在集合论中, 可数集 (或可列集) 是指可以写成$$X=\{x_1,x_2,x_3,\dots \}$$的集合, 也就是那些 “不太大” 的集合, 以自然数作为下标, 就可以将该集合的所有元素全部列出. 例如, 自然数集 $\mathbb{N}$ 就是可数集. 比可数集更大的集合称为不可数集. 例如, 实数集 $\mathbb{R}$ 就是不可数集, 因为任何序列 $x_1,x_2,x_3,\dots$ 都无法将 $\mathbb{R}$ 的元素全部列举出来.

可数集包括以下两类:

•	有限集.
•	可数无限集, 也是和自然数集 $\mathbb{N}$ 一样大的集合.

有时, 术语 “可数集” 也用来指可数无限集. 我们不采用这种约定, 但若要避免歧义, 可以将本文中的可数集称为 “至多可数” 的集合.

1定义

定义 1.1 (可数集). 设 $X$ 为集合. 记 $|X|$ 为 $X$ 的势, 记 ${\aleph }_0$ $=|\mathbb{N}|$ 为自然数集的势.

•	称 $X$ 为可数集, 若 $|X|\le {\aleph }_0$.

•	称 $X$ 为可数无限集, 若 $|X|={\aleph }_0$.

•	称 $X$ 为不可数集, 若 $|X|>{\aleph }_0$.

2例子

以下集合为可数集:

•	任何有限集都是可数集.

•	自然数集 $\mathbb{N}$、整数集 $\mathbb{Z}$、有理数集 $\mathbb{Q}$ 都是可数集.

•	有限个可数集的 Descartes 积仍是可数集. 例如, 对任何自然数 $n$, 集合 ${\mathbb{Z}}^n$ 是可数集.

以下集合为不可数集:

•	实数集 $\mathbb{R}$ 是不可数集.

•	自然数集的所有子集的集合 $2^{\mathbb{N}}$ 是不可数集.

3相关概念

术语翻译

可数集 • 英文 countable set • 德文 abzählbare Menge (f) • 法文 ensemble dénombrable (m) • 拉丁文 copia numerabilis • 古希腊文 ἀριθμητὸν σύνολον • 日文 可算集合 (かさんしゅうごう) • 韩文 가산 집합 (可數集合)

不可数集 • 英文 uncountable set • 德文 überabzählbare Menge (f) • 法文 ensemble non dénombrable (m) • 日文 非可算集合 (ひかさんしゅうごう) • 韩文 비가산 집합 (非可數集合)