Kőnig 定理

注意区分本文与 Kőnig 引理.

Kőnig 定理, 或称 Kőnig 不等式, 是基数运算中的重要结论, 大体说的是, 如一族基数对应地小于另一族基数, 则其和小于那另一族的乘积. 它是选择公理的一个等价形式, 于 1904 年由匈牙利数学家 Gyula Kőnig 提出.

1陈述与证明

定理 1.1 (Kőnig). $I$ 是集合, $\{{\kappa }_i{\}}_{i\in I},\{{\lambda }_i{\}}_{i\in I}$ 是以之为指标集的两族基数, 满足对每个 $i\in I$, ${\kappa }_i<{\lambda }_i$. 那么$$\sum _{i\in I}{\kappa }_i<\prod _{i\in I}{\lambda }_i.$$

证明. 需要证明任意映射$$f:\underset{i\in I}{⨆}{\kappa }_i\to \prod _{i\in I}{\lambda }_i$$都不是满射. 取一映射如上. 对每个 $i\in I$, 将其复合上含入映射 ${\kappa }_i\to {⨆}_{j\in I}{\kappa }_j$ 与投影映射 ${\prod }_{j\in I}{\lambda }_j\to {\lambda }_i$, 得一映射 $f_i:{\kappa }_i\to {\lambda }_i$. 由条件, 这不满, 故可取一 $x_i\in {\lambda }_i$ 不在 $f_i$ 的像中. 由选择公理, 可对所有的 $i$ 同时取出这样的 $x_i$, 构成元素 $(x_i{)}_{i\in I}\in {\prod }_{i\in I}{\lambda }_i$. 显然它不在 $f$ 的像中. 故 $f$ 不是满射.

$\square$

注 1.2. 证明中用到了选择公理. 注意如取 ${\kappa }_i$ 全为 $0$, Kőnig 定理就退化为选择公理. 所以它与选择公理等价.

2推论

结合基数运算的基本事实, Kőnig 定理能框定一些指数运算的大小:

推论 2.1. 如 $\kappa$ 是无穷基数, 则 $\kappa <{\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}$, 其中 $\mathrm{cf}$ 指共尾类.

证明. 取一族小于 $\kappa$ 的序数 $\{{\alpha }_i{\}}_{i\in \mathrm{cf}(\kappa )}$ 使得 ${\sup }_{i\in \mathrm{cf}(\kappa )}{\alpha }_i=\kappa$. 由于对每个 $i$ 皆有 $|{\alpha }_i|<\kappa$, 所以$$\sum _{i\in \mathrm{cf}(\kappa )}|{\alpha }_i|<{\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}.$$不难发现左边就是 $\kappa$.

$\square$

推论 2.2. 如 $\lambda >1$, $\kappa$ 无穷, 则 $\mathrm{cf}({\lambda }^{\kappa })>\kappa$. 特别地, $\mathrm{cf}(2^{{\aleph }_0})>{\aleph }_0$.

证明. 不然就有 $({\lambda }^{\kappa }{)}^{\mathrm{cf}({\lambda }^{\kappa })}={\lambda }^{\kappa \mathrm{cf}({\lambda }^{\kappa })}={\lambda }^{\kappa }$, 与上一个推论矛盾.

$\square$

推论 2.3 (Cantor 定理). 对于任意基数 $\kappa$, $2^{\kappa }>\kappa$ 都成立.

证明. 因为 $1<2$, 所以 $\kappa ={\sum }_{i\in \kappa }1<{\prod }_{i\in \kappa }2$.

$\square$

注 2.4. 展开定理 1.1 的证明可以发现上述证明和主条目 Cantor 定理中所述本质相同. 由于 $1$ 有一个元素, $2$ 有两个元素, 两个元素去掉一个元素总是只剩一个元素, 这种情形实际上没用到选择公理.

3相关概念

•

共尾类

术语翻译

Kőnig 定理 • 英文 Kőnig’s theorem • 德文 Satz von Kőnig • 法文 théorème de Kőnig