拓扑子空间

拓扑空间的拓扑子空间 (简称子空间) 是指其子集, 并带上原来拓扑空间上的拓扑所诱导的拓扑, 以成为拓扑空间. 这一拓扑称为子空间拓扑.

1定义

定义 1.1 (拓扑子空间). 设 $X$ 是拓扑空间, $Y\subset X$ 是其子集. 定义 $Y$ 上的子空间拓扑如下:

•	集合 $U\subset Y$ 是 $Y$ 的开集, 当且仅当存在 $X$ 的开集 $U^{\prime }\subset X$, 使得 $U=U^{\prime }\cap Y$.

集合 $Y$ 带上子空间拓扑, 成为拓扑空间, 称为 $X$ 的拓扑子空间, 或简称子空间.

另外, 还使用以下术语:

•	若 $Y$ 为 $X$ 中的开集, 则称拓扑空间 $Y$ 为 $X$ 的开子空间.

•	若 $Y$ 为 $X$ 中的闭集, 则称拓扑空间 $Y$ 为 $X$ 的闭子空间.

注 1.2. 在定义 1.1 的记号下, $Y$ 上的子空间拓扑是使得含入映射 $Y\hookrightarrow X$ 连续的最小的拓扑, 即开集最少的拓扑, 称为弱拓扑.

2性质

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术语翻译

拓扑子空间 • 英文 topological subspace • 德文 topologischer Teilraum • 法文 sous-espace topologique • 拉丁文 subspatium topologicum • 古希腊文 τοπολογικὸς ὑποχῶρος

子空间拓扑 • 英文 subspace topology • 德文 Teilraumtopologie • 法文 topologie induite • 拉丁文 topologia subspatii • 古希腊文 τοπολογία ὑποχώρου