一点紧化

在拓扑学中, 拓扑空间的一点紧化 (又称 Alexandroff 紧化) 是指向该空间添加一个点, 而将其变为紧空间的一种构造. 这个添加的点通常记为 $\infty$, 称为无穷远点.

1定义

定义 1.1 (一点紧化). 设 $X$ 为拓扑空间. 其一点紧化 $X^{\ast }$ 是集合 $X\cup \{\infty \}$, 带有由以下开集组成的拓扑:

1.	$X$ 中的所有开集.
2.	形如 $U\cup \{\infty \}$ 的集合, 其中 $U\subset X$ 且 $X\setminus U$ 是 $X$ 中的闭紧子集.

这样得到的拓扑空间即为 $X$ 的一点紧化.

注意到无穷远点 $\infty$ 的开邻域恰好是所有补集为紧集的开集.

在 Hausdorff 空间中, 任何紧子集都是闭子集, 因此定义中的 “闭紧子集” 条件可以简化为 “紧子集”.

2例子

•	$n$ 维 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的一点紧化同胚于 $n$ 维球面 $S^n$. 这个同胚关系可以通过球极投影建立. 例如, 直线 $\mathbb{R}$ 的一点紧化是圆周 $S^1$, 而平面 ${\mathbb{R}}^2$ 的一点紧化是球面 $S^2$.

•	设 ${\mathbb{Z}}_{+}$ 为赋予离散拓扑的正整数集. 其一点紧化同胚于实直线 $\mathbb{R}$ 的子集 $\{0\}\cup \{1/n\mid n\in {\mathbb{Z}}_{+}\}$. 这个同胚将无穷远点 $\infty$ 映为 $0$, 并将每个正整数 $n$ 映为 $1/n$.

•	若空间 $X$ 本身已经是紧空间, 则其一点紧化 $X^{\ast }$ 是 $X$ 和一个孤立点 $\{\infty \}$ 的无交并空间.

3性质

命题 3.1. 空间 $X$ 的一点紧化 $X^{\ast }$ 总是紧的.

证明. 设 $\mathcal{U}$ 是 $X^{\ast }$ 的一个开覆盖. 则其中必有一个包含 $\infty$ 的开集 $U_0=(X\setminus K)\cup \{\infty \}$, 其中 $K$ 是 $X$ 的紧子集. 由于 $K$ 是紧的, 只需要有限个 $\mathcal{U}$ 中的开集就能覆盖 $K$. 这些有限个开集, 再加上 $U_0$, 就构成了 $X^{\ast }$ 的一个有限子覆盖.

$\square$

命题 3.2. $X^{\ast }$ 是 Hausdorff 空间, 当且仅当 $X$ 是局部紧 Hausdorff 空间.

证明. ($\Leftarrow$) 设 $X$ 是局部紧 Hausdorff 空间. 欲证 $X^{\ast }$ 是 Hausdorff 的, 只需分离任意两点. 若两点都在 $X$ 中, 则因 $X$ 是 Hausdorff 的而显然. 若一点为 $x\in X$, 另一点为 $\infty$, 因 $X$ 局部紧, $x$ 有一个紧邻域 $K$. 取 $x$ 的开邻域 $U$ 使得 $U\subseteq K$. 则 $U$ 和 $(X\setminus K)\cup \{\infty \}$ 就是 $x$ 和 $\infty$ 的不交开邻域.

($\Rightarrow$) 若 $X^{\ast }$ 是 Hausdorff 空间, 则其子空间 $X$ 必然是 Hausdorff 的. 同时, $X$ 是紧 Hausdorff 空间 $X^{\ast }$ 的开子集, 因此 $X$ 是局部紧的.

$\square$

命题 3.3. 若 $X$ 是局部紧 Hausdorff 空间, 则 $X$ 同胚于 $X^{\ast }$ 的开子空间 $X^{\ast }\setminus \{\infty \}$, 且在 $X^{\ast }$ 中稠密.

4相关概念

术语翻译

一点紧化 • 英文 one-point compactification • 德文 Einpunktkompaktifizierung (f) • 法文 compactification d’Alexandrov (m) • 拉丁文 compactificatio unius puncti (f)