悬链环

约定. 在本文中,

• 所有环都是交换环.

交换代数中, 悬链环指的是素理想间的极大素理想链都等长的环. 这是个非常弱的条件. 我们在交换代数和代数几何遇到的环基本都是悬链的, 而举出不悬链的环倒是非常困难.

1定义

定义 1.1. 称环 $A$ 为悬链环, 指对任意素理想 $\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{q}$, 存在 $d\in \mathbb{N}$, 使得对每条素理想链$$\mathfrak{p}={\mathfrak{p}}_0⫋{\mathfrak{p}}_1⫋\cdots ⫋{\mathfrak{p}}_e=\mathfrak{q},$$都有 $e\le d$, 且对其中极大者, 即中间无法再插入素理想的, 都有 $e=d$. 换言之, 谱空间 $\mathrm{Spec}A$ 是悬链空间.

定义 1.2. 称 Noether 环 $A$ 为泛悬链环, 指任一有限型 $A$-代数都是悬链环.

2性质

命题 2.1. (泛) 悬链环的商环、局部化都是 (泛) 悬链环. 泛悬链环上有限型代数是泛悬链环.

推论 2.2. 只要 Noether 环 $A$ 上有限个变元的多项式环都是悬链环, $A$ 就是泛悬链环.

命题 2.3. 有对偶复形的 Noether 环是泛悬链环.

命题 2.4. CM 环是泛悬链环. 特别地, 正则环是泛悬链环.

注 2.5. 于是 $\mathbb{Z}$ 上有限型和域上有限型环都是泛悬链环. 此外, 由 Cohen 结构定理, 完备 Noether 局部环都是完备正则局部环的商, 从而也是泛悬链环. 所以我们在实践中遇到的环基本都是泛悬链环.

3例子

由于注 2.5 说明 (泛) 悬链环遍地都是, 本节就来举不是 (泛) 悬链环的例子. (把 stacks 02JE 搬过来.)

4相关概念

•	悬链空间
•	Cohen–Macaulay 环
•	优秀环

术语翻译

悬链环 • 英文 catenary ring • 法文 anneau caténaire • 拉丁文 anellus catenarius

泛悬链环 • 英文 universally catenary ring • 法文 anneau universellement caténaire • 拉丁文 anellus universaliter catenarius