Cohen–Macaulay 环

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

Cohen–Macaulay 环是交换代数中一类同调表现良好的 Noether 环. 具体地说, 一个 Noether 局部环 Cohen–Macaulay, 意思是其参数系都是正则序列. 在环有对偶复形时, 它也等价于对偶复形集中在一个次数.

1定义

定义 1.1. 称 Noether 环 $A$ 是 Cohen–Macaulay 环, 简称 CM 环, 指 $A$ 是自身的 Cohen–Macaulay 模. 换言之, Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 是 Cohen–Macaulay 环, 指的是 $\mathrm{depth}(R)=\dim R$; Noether 环 $A$ 是 Cohen–Macaulay 环, 指的是对其每个素理想 $\mathfrak{p}$, $A_{\mathfrak{p}}$ 都是 Cohen–Macaulay 环.

此概念也有 “相对” 版本.

定义 1.2. 设环同态 $A\to B$ 满足对 $A$ 的每个素理想 $\mathfrak{p}$, 纤维 $B{\otimes }_{A}k(\mathfrak{p})$ 都是 Noether 环, 例如它是有限型同态, 或者 $A,B$ 都是 Noether 环. 称该同态是 Cohen–Macaulay 同态, 简称 CM 同态, 指其平坦, 且对 $A$ 的每个素理想 $\mathfrak{p}$, 纤维 $B{\otimes }_{A}k(\mathfrak{p})$ 都是 Cohen–Macaulay 环. 这里 $k(\mathfrak{p})=A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$ 指 $\mathfrak{p}$ 的剩余域.

2性质

以下几个性质都直接来自 Cohen–Macaulay 模的性质.

命题 2.1. Artin 环都是 Cohen–Macaulay 环.

命题 2.2. Cohen–Macaulay 局部环每个结合素理想的商环维数都等于环的维数. 特别地, 它没有嵌入素理想.

定理 2.3 (切片判别法). $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, 维数是 $d$. 设 $c\in \mathbb{N}$, $r_1,\dots ,r_c\in \mathfrak{m}$, $\dim R/(r_1,\dots ,r_c)=d-c$. 则 $R$ 是 Cohen–Macaulay 环, 当且仅当 $r_1,\dots ,r_c$ 是正则序列且 $R/(r_1,\dots ,r_c)$ 是 Cohen–Macaulay 环.

推论 2.4. Cohen–Macaulay 局部环都是均维悬链环.

定理 2.5 (正则序列刻画). $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环. 以下几条等价:

•	$R$ 是 Cohen–Macaulay 环.
•	$R$ 的每个参数系都是正则序列.
•	$R$ 有一个参数系是正则序列.

命题 2.6. Cohen–Macaulay 局部环的局部化仍是 Cohen–Macaulay 局部环.

命题 2.7 (纤维判别法). 设 $(R,\mathfrak{m})\to (S,\mathfrak{n})$ Noether 局部环的平坦局部同态, 且 $R$ 与 $S/\mathfrak{m}S$ 都是 Cohen–Macaulay 环. 则 $S$ 也是 Cohen–Macaulay 环.

推论 2.8. 设 $A\to B$ 是 Noether 环的 Cohen–Macaulay 同态, $A$ 是 Cohen–Macaulay 环, 则 $B$ 也是 Cohen–Macaulay 环.

推论 2.9. Cohen–Macaulay 环都是泛悬链环.

3例子

以下说的都是 Noether 环.

•	正则环都是 Cohen–Macaulay 环.
•	零维环都是 Cohen–Macaulay 环.
•	一维整环都是 Cohen–Macaulay 环. 一般地, 一维既约环是 Cohen–Macaulay 环.
•	2 维整闭整环是 Cohen–Macaulay 环.
•	Cohen–Macaulay 环上的多项式环也是 Cohen–Macaulay 环.
•	任取域 $k$. 一维环 $k[x,y]/(xy)$ 虽然不整, 但也是 Cohen–Macaulay 环, 因其完全交.
•	任取域 $k$. 一维环 $k[x,y]/(x^2,xy)$ 不是 Cohen–Macaulay 环, 因其在极大理想 $(x,y)$ 处深度是 $0$.

4$({\text{S}}_k)$ 条件

$({\text{S}}_k)$ 条件大体指的是在高度 $k$ 或者说余维 $k$ Cohen–Macaulay, 但不全是. 它几何意义明确, 有时给 Noether 环的研究带来方便.

定义 4.1. 对 $k\in \mathbb{N}$, 称 Noether 环 $A$ 满足 $({\text{S}}_k)$ 条件, 意思是对其任意素理想 $\mathfrak{p}$, 都有 $\mathrm{depth}(A_{\mathfrak{p}})=\min \{k,\mathrm{ht}(\mathfrak{p})\}$.

注 4.2. 容易发现, $({\text{S}}_0)$ 是空条件, $({\text{S}}_1)$ 说的是 $A$ 没有嵌入素理想.

注 4.3. $({\text{S}}_k)$ 条件不能陈述为 “对高度不超过 $k$ 的素理想局部化之后 CM”. 任取域 $k$, 考虑环 $R=k[[x,y,z]]/(x^2,xy,xz)$, 记极大理想 $\mathfrak{m}=(x,y,z)$, 则由 $R/x=k[[y,z]]$ 是整环, 不难发现对非零元 $r\in R$, 如 $r$ 是 $x$ 的倍数, 则 $\mathrm{Ann}(r)=\mathfrak{m}$, 否则 $\mathrm{Ann}(r)\subseteq (x)$. 由此可得 $\mathrm{Ass}(R)=\{\mathfrak{m},(x)\}$. 注意 $\mathrm{ht}(\mathfrak{m})=2$, 故 $R$ 对高度 $1$ 的素理想局部化所得的环都没有嵌入素理想, 于是这些局部化都 CM. 但 $R$ 并不是 $({\text{S}}_1)$ 环, 因为 $\mathrm{depth}(R)=0$.

5相关概念

•	Cohen–Macaulay 模
•	大 Cohen–Macaulay 代数
•	局部上同调
•	对偶复形
•	奇迹平坦

术语翻译

Cohen–Macaulay 环 • 英文 Cohen–Macaulay ring • 德文 Cohen–Macaulay-Ring • 法文 anneau de Cohen–Macaulay

Cohen–Macaulay 同态 • 英文 Cohen–Macaulay homomorphism • 德文 Cohen–Macaulay-Homomorphismus • 法文 homomorphisme de Cohen–Macaulay