零因子

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

顾名思义, 零因子就是 $0$ 的因子, 即乘以某个非零元得到 $0$ 的元素.

1定义

定义 1.1. 环 $R$ 的零因子指的是元素 $a\in R$, 满足存在非零元 $x\in R$ 使得 $ax=0$. $R$-模 $M$ 的零因子指的是元素 $a\in R$, 满足存在非零元 $m\in M$ 使得 $am=0$. 换言之, $a$ 是 $M$ 的零因子, 当且仅当映射 $a:M\to M$ 不是单射.

不是零因子的元素称为非零因子.

注 1.2. 依定义, 零环、零模没有零因子; $0$ 总是非零环、非零模的零因子. 当然, 我们常常默认不考虑零环、零模情形.

2例子

•	整环的零因子只有 $0$.
•	$x$ 和 $y$ 都是 $\mathbb{Z}[x,y]/(xy)$ 的零因子.
•	幂零元都是零因子.
•	$\mathbb{Z}$ 中的元素除了 $\pm 1$ 之外, 都是模 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 的零因子.

3性质

命题 3.1. $R$ 是环, $M$ 是 $R$-模. 则 $M$ 的所有非零因子构成 $R$ 的乘性子集.

证明. 这是因为单射的复合还是单射.

$\square$

定理 3.2. 零因子组成的集合是若干素理想的并.

证明. 设 $R$ 是环, $M$ 是 $R$-模. 考虑理想集$$\{I\subseteq R\mid I中元素都是M的零因子\}.$$显然这些理想的并就是零因子的集合, 因为对每个零因子 $a$, $(a)$ 都是这样一个理想. 由 Zorn 引理易知这些理想中的每一个都包含于其中某个极大元. 只需证此理想集中极大元为素理想. 这是命题 3.1 的直接推论, 因为由素理想的性质, 与某个乘性子集无交的理想中极大者是素的.

$\square$

4相关概念

•	正则序列
•	Cohen–Macaulay 环

术语翻译

零因子 • 英文 zero divisor • 德文 Nullteiler • 法文 diviseur de zéro