结合素理想

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

结合素理想是交换代数中的重要概念, 是准素分解理论的现代版本. 代数地看, 它是可以作为模中元素零化子的素理想; 几何地看, 它是拟凝聚层截面支集的不可约分支.

1定义

定义 1.1. $A$ 是环, $M$ 是 $A$-模. 称素理想 $\mathfrak{p}\subseteq A$ 为 $M$ 的结合素理想, 指的是存在 $m\in M$ 使得 $\mathfrak{p}={\mathrm{Ann}}_A(m)$. $M$ 的所有结合素理想的集合记作 ${\mathrm{Ass}}_A(M)$, 无歧义时也可省去下标 $A$. ${\mathrm{Ass}}_A(M)$ 中的极小元称为 $M$ 的极小素理想, 其余的称为嵌入素理想. 常将环 $A$ 作为自身的模的结合 (嵌入) 素理想简称为环 $A$ 的结合 (嵌入) 素理想.

注 1.2. 虽然此定义相当一般, 但它只对 Noether 环表现良好. 一般环上要用弱结合素理想.

2性质

注意由定义不能看出它存在; 我们首先对非零模证明存在性. 显然零模没有结合素理想.

命题 2.1. 设 $A$ 是 Noether 环, $M$ 是非零 $A$-模, 则 ${\mathrm{Ass}}_A(M)\ne \varnothing$. 此外, $M$ 中非零元的零化子都包含于某个结合素理想; 换言之, $M$ 的零因子集是其所有结合素理想的并.

证明. 考虑理想集合$$\{\mathrm{Ann}(m)\mid m\in M,m\ne 0\}.$$由 Noether, 它有极大元, 设为 $\mathfrak{p}=\mathrm{Ann}(m)$, 我们来证 $\mathfrak{p}$ 为素理想. 取 $a,b\notin \mathfrak{p}$, 则 $am\ne 0$, 且 $\mathrm{Ann}(am)\supseteq \mathrm{Ann}(m)$, 故由极大知 $\mathrm{Ann}(am)=\mathrm{Ann}(m)$. 于是 $b\notin \mathrm{Ann}(am)$, 故 $abm\ne 0$, $ab\notin \mathrm{Ann}(m)=\mathfrak{p}$. 所以 $\mathfrak{p}$ 素. 对一个固定元素的零化子, 考虑上述集合里面包含它的理想中极大者, 即得后一句话.

$\square$

例 2.2. $A$ 是环, $\mathfrak{p}$ 是其素理想, 则 ${\mathrm{Ass}}_A(A/\mathfrak{p})=\{\mathfrak{p}\}$.

其次是关于模的性质.

命题 2.3. 设有 $A$-模短正合列$$0\to N\to M\to Q\to 0.$$则 $\mathrm{Ass}(N)\subseteq \mathrm{Ass}(M)\subseteq \mathrm{Ass}(N)\cup \mathrm{Ass}(Q)$. 第二个包含在正合列分裂时为等号.

证明. 第一个包含为显然, 我们来证第二个. 设 $\mathfrak{p}=\mathrm{Ann}(m)\in \mathrm{Ass}(M)$, 记 $m$ 在 $Q$ 中的像为 $\bar{m}$, 则 $\mathrm{Ann}(\bar{m})\supseteq \mathfrak{p}$. 如这是等号则 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Ass}(Q)$. 如这是真包含, 取 $a\in \mathrm{Ann}(\bar{m})\setminus \mathfrak{p}$, 则 $a\bar{m}=0$ 而 $am\ne 0$, 即 $am\in N$ 且非零. 由 $\mathfrak{p}$ 是素理想易知 $\mathrm{Ann}(am)=\mathfrak{p}$, 即 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Ass}(N)$. 所以 $\mathrm{Ass}(M)\subseteq \mathrm{Ass}(N)\cup \mathrm{Ass}(Q)$. 正合列分裂时, $N$ 和 $Q$ 都是 $M$ 的子模, 故也有 $\mathrm{Ass}(M)\supseteq \mathrm{Ass}(N)\cup \mathrm{Ass}(Q)$, 所以两边相等.

$\square$

例 2.4. 以上第二个包含常常为严格. 观察$$0\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\to 0.$$

用结合素理想可将有限生成模拆成较简单的模.

命题 2.5. $A$ 是 Noether 环, $M$ 是有限生成 $A$-模. 则存在滤链$$0=M_0⫋M_1⫋\cdots ⫋M_{n-1}⫋M_n=M,$$以及一列素理想 ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_n$, 使得 $M_i/M_{i-1}\cong A/{\mathfrak{p}}_i$.

证明. 考虑子模集合$$\{N\subseteq M\mid 命题对N成立\}.$$它非空, 因为 $0$ 在其中. 由于 $M$ 是 Noether 模, 以上集合有极大元, 设为 $N$, 要证 $N=M$. 如果 $N⫋M$, 取 $M/N$ 的结合素理想 $\mathfrak{p}$ 以及元素 $\bar{m}$ 使得 $\mathrm{Ann}(\bar{m})=\mathfrak{p}$, 则 $A\bar{m}\cong A/\mathfrak{p}$. 取 $\bar{m}$ 一个原像 $m\in M$, 令 $N^{\prime }=N+Am$, 则 $N^{\prime }⫌N$, $N^{\prime }/N=A\bar{m}\cong A/\mathfrak{p}$, 于是将 $N$ 的滤链最后放上 $N^{\prime }$, 得命题对 $N^{\prime }$ 成立, 与 $N$ 极大矛盾! 故 $N=M$, 命题对 $M$ 成立.

$\square$

由此可得重要的有限性.

推论 2.6. $A$ 是 Noether 环, $M$ 是有限生成 $A$-模. 则 ${\mathrm{Ass}}_A(M)$ 有限.

证明. 由以上两命题立得结论.

$\square$

命题 2.7 (与局部化的关系). $A$ 是 Noether 环, $M$ 是 $A$-模, $S\subseteq A$ 是乘性子集. 则$${\mathrm{Ass}}_A(S^{-1}M)={\mathrm{Ass}}_{S^{-1}A}(S^{-1}M)={\mathrm{Ass}}_A(M)\cap \mathrm{Spec}{S}^{-1}A.$$自然映射$$M\to \prod _{\mathfrak{p}\in {\mathrm{Ass}}_A(M)}{M}_{\mathfrak{p}}$$是单射.

证明. 用局部化的定义及其理想对应, 第一个等号以及 ${\mathrm{Ass}}_A(M)\cap \mathrm{Spec}{S}^{-1}A\subseteq {\mathrm{Ass}}_A(S^{-1}M)$ 都是显然的, 甚至无需 Noether. 现取 $\mathfrak{p}\in {\mathrm{Ass}}_A(S^{-1}M)$, 设其为 ${\mathrm{Ann}}_A(m/s)$, $m\in M$, $s\in S$. 由 Noether 知 $\mathfrak{p}$ 有限生成, 设其为 $(a_1,\dots ,a_n)$. 则由 $a_{i}m/s=0$ 知存在 $s_i\in S$ 使得 $a_i{s}_{i}m\in M$ 是 $0$. 由此不难发现 ${\mathrm{Ann}}_A(s_1\cdots s_{n}m)=\mathfrak{p}$, 于是 $\mathfrak{p}\in {\mathrm{Ass}}_A(M)\cap \mathrm{Spec}{S}^{-1}A$.

如非零元 $m\in M$ 在上面的自然映射的核中, 取 $Am\subseteq M$ 的结合素理想 $\mathfrak{p}$; 以 $Am$ 中其他元素替换 $m$ 可不妨设 $\mathfrak{p}=\mathrm{Ann}(m)$. 由命题 2.3, $\mathfrak{p}$ 是 $M$ 的结合素理想; 于是 $m$ 在局部化 $M\to M_{\mathfrak{p}}$ 的核中, 说明存在 $s\notin \mathfrak{p}$ 使得 $sm=0$, 与 $\mathfrak{p}=\mathrm{Ann}(m)$ 矛盾! 命题得证.

$\square$

回忆 $A$-模 $M$ 的支集指的是满足 $M_{\mathfrak{p}}\ne 0$ 的素理想 $\mathfrak{p}$ 的集合, 记作 ${\mathrm{Supp}}_A(M)$, 无歧义时常省略下标 $A$.

定理 2.8 (与支集的关系). ${\mathrm{Ass}}_A(M)\subseteq {\mathrm{Supp}}_A(M)$. 如 $A$ Noether, 则 ${\mathrm{Supp}}_A(M)$ 中极小者都在 ${\mathrm{Ass}}_A(M)$ 中. 特别地, 如 $M$ 有限生成, 则有 $\overline{{\mathrm{Ass}}_A(M)}={\mathrm{Supp}}_A(M)$, $\sqrt{{\mathrm{Ann}}_A(M)}={\bigcap }_{\mathfrak{p}\in {\mathrm{Ass}}_A(M)}\mathfrak{p}$.

证明. 如 $\mathfrak{p}\in {\mathrm{Ass}}_A(M)$, 则由上一个命题 $\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}\in {\mathrm{Ass}}_{A_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}})$, 故 $M_{\mathfrak{p}}\ne 0$, 所以 ${\mathrm{Ass}}_A(M)\subseteq {\mathrm{Supp}}_A(M)$. 如 $\mathfrak{p}\in {\mathrm{Supp}}_A(M)$ 极小, 则 ${\mathrm{Supp}}_{A_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}})=\{\mathfrak{p}\}$, 故 ${\mathrm{Ass}}_{A_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}})=\{\mathfrak{p}\}$, 由上一个命题 $\mathfrak{p}\in {\mathrm{Ass}}_A(M)$. 如 $M$ 有限生成则 ${\mathrm{Supp}}_A(M)=V(\mathrm{Ann}(M))$, 在 $A$ 的谱中是闭集, 由此不难得到最后一句话.

$\square$

命题 2.9. $A$ 是 Noether 环, $f:M\to N$ 是 $A$-模同态. 如果对每个 $\mathfrak{p}\in {\mathrm{Ass}}_A(M)$, $f$ 在 $\mathfrak{p}$ 处局部化都是单射, 那么 $f$ 就是单射.

证明. 记 $K=\ker (f)$, 则它是 $M$ 的子模, 故它的结合素理想都是 $M$ 的结合素理想. 由条件, 对每个这样的素理想 $\mathfrak{p}$ 都有 $K_{\mathfrak{p}}=0$; 这样由命题 2.7 最后一句话便知 $K=0$, $f$ 是单射.

$\square$

3例子

•	整环的结合素理想只有 $0$.
•	固定域 $k$, 考虑 $A=k[x,y]/(xy,y^2)$. 则 $\mathrm{Ass}(A)=\{(y),(x,y)\}$, 其中 $(y)$ 为极小素理想, $(x,y)$ 为嵌入素理想.

4应用

常将结合素理想有限性与素理想回避一起使用, 来得到模的非零因子. 结合素理想在 Cohen–Macaulay 环和正则环的理论中也是常用工具.

5相关概念

•	结合点
•	素理想回避
•	弱结合素理想
•	Cohen–Macaulay 环

术语翻译

结合素理想 • 英文 associated prime ideal • 德文 assoziiertes Primideal • 法文 idéal premier associé

嵌入素理想 • 英文 embedded prime • 德文 eingebettetes Primideal • 法文 idéal premier plongé