Krull–Akizuki 定理

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

Krull–Akizuki 定理是个交换代数定理, 说的是对整环之间的整扩张 $A\to B$, 如分式域扩张有限, 且 $A$ 是一维 Noether 环, 则 $B$ 也是一维 Noether 环.

注意定理的条件不能保证 $A\to B$ 是有限同态.

1陈述

定理 1.1. $A\to B$ 是整环的整扩张. 分别以 $K,L$ 记 $A,B$ 的分式域. 如 $A$ 是一维 Noether 环, $L/K$ 是有限扩张, 则 $B$ 也是一维 Noether 环.

2证明

先证两个引理.

引理 2.1. $A$ 是一维 Noether 整环, $K$ 是其分式域. 则对非零元 $a\in A$ 以及有限生成 $A$-模 $M$ 有$${\ell }_A(M/aM)-{\ell }_A(M[a])=n{\ell }_A(A/a),$$其中 $n=\mathrm{rk}(M)={\dim }_K(M{\otimes }_{A}K)$, $M[a]=\ker (a:M\to M)$.

证明. 先证 $n=0$ 情形. 此时 $M$ 的支集只有极大理想, 故其为有限长. 由正合列$$0\to M[a]\to M\to M\to M/aM\to 0$$便知 ${\ell }_A(M/aM)-{\ell }_A(M[a])=0$. 注意如$$0\to N\to M\to Q\to 0$$是有限生成 $A$-模的短正合列, 则对图表$$0NMQ00NMQ0aaa$$用蛇引理, 知只要命题对 $N,Q$ 成立, 它也就对 $M$ 成立.

现在来证明 $n>0$ 情形. 取 $M$ 的一组元素 $m_1,\dots ,m_n$ 使其在 $M{\otimes }_{A}K$ 的像是一组基. 于是这组元素定义的映射 $A^n\to M$ 是单射, 且其余核的秩为 $0$. 于是由上一段所注意, 只需对 $A^n$ 证明命题, 而这是显然的.

$\square$

引理 2.2. $A$ 是一维 Noether 整环, $K$ 是其分式域. 设 $V$ 是 $K$ 上有限维线性空间, $n\in \mathbb{N}$ 是其维数. 则对非零元 $a\in A$ 以及 $A$-子模 $M\subseteq V$, 有$${\ell }_A(M/aM)\le n{\ell }_A(A/a).$$特别地, $M/aM$ 为有限长模.

证明. 如 $M$ 为有限生成, 则由引理 2.1 知 ${\ell }_A(M/aM)=n{\ell }_A(A/a)$. 现证一般情况, 用反证法. 如有 $M$ 使得 ${\ell }_A(M/aM)>n{\ell }_A(A/a)$, 则 $M$ 有子模链$$aM=M_0⫋M_1⫋\cdots ⫋M_{\ell }=M$$使得 $\ell >n{\ell }_A(A/a)$. 对 $i=1,\dots ,\ell$ 分别取 $m_i\in M_i\setminus M_{i-1}$. 以 $M^{\prime }$ 记 $m_1,\dots ,m_{\ell }$ 生成的子模, 并对 $j=1,\dots ,m$ 以 $M_j^{\prime }$ 记 $a{M}^{\prime }$ 与 $m_1,\dots ,m_j$ 生成的子模. 则 $M^{\prime }$ 有子模链$$a{M}^{\prime }=M_0^{\prime }⫋M_1^{\prime }⫋\cdots ⫋M_{\ell }^{\prime }=M^{\prime }.$$而 $M^{\prime }$ 有限生成, ${\ell }_A(M^{\prime }/a{M}^{\prime })=n{\ell }_A(A/a)<\ell$, 矛盾! 故总有 ${\ell }_A(M/aM)\le n{\ell }_A(A/a)$.

$\square$

有这两个引理之后, 便可证明更强的命题.

命题 2.3. $A\to B$ 是整环的单同态. 分别以 $K,L$ 记 $A,B$ 的分式域. 如 $A$ 是一维 Noether 环, $L/K$ 是有限扩张, 则 $B$ 是至多一维的 Noether 环. 事实上, 对任意非零元 $b\in B$, 都有 ${\ell }_A(B/b)<\infty$.

证明. 设命题最后一句话成立. 则对 $B$ 的每个非零理想 $I$, 取其中非零元 $b$, 有 ${\ell }_B(I/bB)\le {\ell }_A(I/bB)\le {\ell }_A(B/bB)<\infty$. 特别地, $I/bB$ 为有限生成 $B$-模, 故 $I$ 也是. 于是 $B$ 为 Noether 环. 而最后一句话推出对每个非零元 $b$, $B/b$ 都是 Artin 环; 故由维数理论知 $B$ 至多一维.

所以只需证命题最后一句话. 写 $b$ 在 $K$ 上的极小多项式, 有 $c_1,\dots ,c_n\in K$ 使得$$b^n+c_1{b}^{n-1}+\cdots +c_n=0,$$且 $c_n\ne 0$. 设 $a\in A$ 是 $c_1,\dots ,c_n$ 的公分母, 则有$$a{c}_n=-a{b}^n-a{c}_1{b}^{n-1}-\cdots -a{c}_{n-1}b\in bB.$$注意 $a{c}_n$ 是 $A$ 中非零元. 由引理 2.2, ${\ell }_A(B/a{c}_{n}B)<\infty$, 而 $a{c}_{n}B\subseteq bB$, 故 ${\ell }_A(B/bB)<\infty$.

$\square$

以下推论也常被称为 “Krull–Akizuki”.

推论 2.4. 设 $A$ 是 Dedekind 环, $K$ 是其分式域, $L/K$ 是有限扩张. 则 $A$ 在 $L$ 中的整闭包 $B$ 也是 Dedekind 环.

证明. 由定理 1.1, $B$ 是一维 Noether 环. 由定义, $B$ 为整闭. 所以 $B$ 是 Dedekind 环.

$\square$

3评注

需要注意的是, 定理 1.1 的条件不能保证 $A\to B$ 有限. 这可能发生在 $A$ 不整闭或 $L/K$ 不可分时. 请看下例.

例 3.1. 取特征 $p$ 域 $k$ 使得 $[k^{1/p}:k]=\infty$, 例如 ${\mathbb{F}}_p$ 上无穷个变元的有理函数域. 考虑$$A=\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\in k^{1/p}[[x]]|[k(a_n{)}_{n=0}^{\infty }:k]<\infty \right\},$$则 $A$ 为离散赋值环, 素元为 $x$. 记其分式域为 $K$. 取 $f\in k^{1/p}[[x]]\setminus A$, 则 $f^p\in A$. 记 $A^{\prime }=A[f]$, $L=K(f)$, 则 $L/K$ 为 $p$ 次纯不可分扩张, $A^{\prime }$ 作为 $A$-模为秩 $p$ 自由. 以 $B$ 记 $A^{\prime }$ 的整闭包, 亦即 $A$ 在 $L$ 中的整闭包. 下证 $A\to B$ 不是有限同态.

写出 $f={\sum }_{m=0}^{\infty }{a}_m{x}^m$. 对 $n\in \mathbb{N}$, 令 $g_n=a_0+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}$, 则 $g_n\in A$. 令 $h_n=x^{-n}(f-g_n)={\sum }_{m=0}^{\infty }{a}_{m+n}{x}^m$, 则 $h_n\in L$; 又 $h_n^p\in k[[x]]\subseteq A$, 故 $h_n\in B$. 于是 $f=g_n+x^n{h}_n\in A+x^{n}B$. 现如 $B$ 是有限生成 $A$-模, 对 $B/A$ 用 Krull 交定理, 就有 $f\in {\bigcap }_{n=0}^{\infty }(A+x^{n}B)=A$, 矛盾! 所以 $A\to B$ 并不有限. 自然, 这说明 $A^{\prime }\to B$ 也不有限.

4相关概念

•	Dedekind 环
•	Nagata 环

术语翻译

Krull–Akizuki 定理 • 英文 Krull–Akizuki theorem • 德文 Satz von Krull–Akizuki • 法文 théorème de Krull–Akizuki