Krull 交定理

Krull 交定理是个交换代数定理, 说的是 Noether 局部环 $(A,\mathfrak{m})$ 上的有限生成模都是 $\mathfrak{m}$-分离的.

1定理与证明

定理 1.1. $A$ 是 Noether 环, $J$ 是其 Jacobson 根, $M$ 是有限生成 $A$-模. 则 ${\bigcap }_{n=0}^{\infty }{J}^{n}M=0$.

证明. 记 $N={\bigcap }_{n=0}^{\infty }{J}^{n}M\subseteq M$. 由 Artin–Rees 引理, 存在 $c\in \mathbb{N}$ 使得对任意 $n\in \mathbb{N}$, $J^{n+c}M\cap N\subseteq J^{n}N$. 特别地, 取 $n=1$, 由 $N$ 的定义有 $JN\supseteq J^{c+1}M\cap N=N$. 于是由 Nakayama 引理, $N=0$.

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2相关概念

•	Nakayama 引理
•	Artin–Rees 引理

术语翻译

Krull 交定理 • 英文 Krull intersection theorem • 德文 Durchschnittssatz von Krull • 法文 théorème d’intersection de Krull