Schur 乘子

Schur 乘子是一个群论概念. 给定群 $G$, 其 Schur 乘子即 $G$ 的整系数二阶群同调 $H_2(G,\mathbb{Z})$, 是一个 Abel 群. 它最早由 Issai Schur 在 1904 年研究射影表示的分类时候提出, 故得名.

1基本性质

命题 1.1. 对有限表现群 $G$, 我们有典范同构$$H_2(G,\mathbb{Z})\cong H^2(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}{)}^{\wedge }.$$其中 $M^{\wedge }$ 表示 $\mathrm{Hom}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, 对交换群 $M$.

此外, 如果我们知道该群的群表现, 那么我们可以使用如下的 Hopf 同调公式来便捷地计算 Schur 乘子:

命题 1.2 (Hopf 同调公式). 设 $G$ 是有限群, 若 $G\cong F/R$ 其中 $F$ 是有限生成的自由群, 则$$H_2(G,\mathbb{Z})\cong (R\cap [F,F])/[F,R].$$

2例子

(...)

3相关概念

•	射影表示
•	群上同调
•	中心扩张

(...)