左闭右开直线

左闭右开直线, 又称左闭直线、Sorgenfrey 直线, 记作 ${\mathbb{R}}_{\ell }$, 是 $\mathbb{R}$ 上由左闭右开区间生成的拓扑. 它是一般拓扑中的重要例子, 阐释了性质之间的蕴涵关系.

1定义

定义 1.1. 左闭右开直线 ${\mathbb{R}}_{\ell }$ 指实数集 $\mathbb{R}$ 上由开集基$$\{[a,b)\mid a,b\in \mathbb{R},a<b\}$$生成的拓扑. 换言之, 子集 $U\subseteq {\mathbb{R}}_{\ell }$ 为开集, 当且仅当对任意 $a\in U$, 存在 $b>a$, 使得 $[a,b)\subseteq U$.

${\mathbb{R}}_{\ell }$ 和自己的积空间 ${\mathbb{R}}_{\ell }^2$ 也称为 Sorgenfrey 平面.

2性质

命题 2.1. ${\mathbb{R}}_{\ell }$ 是可分空间, $\mathbb{Q}$ 是其可数稠密子集.

命题 2.2. ${\mathbb{R}}_{\ell }$ 是 Lindelöf 空间, 但 ${\mathbb{R}}_{\ell }^2$ 不是 Lindelöf 空间.

命题 2.3. ${\mathbb{R}}_{\ell }$ 是第一可数空间, 但不是第二可数空间.

命题 2.4. ${\mathbb{R}}_{\ell }$ 是正规空间, 但 ${\mathbb{R}}_{\ell }^2$ 不是正规空间.

命题 2.5. ${\mathbb{R}}_{\ell }$ 不可度量化.

术语翻译

左闭右开直线 • 英文 real line with right half-open interval topology