Zariski 引理

在交换代数中, Zariski 引理说明, 如果域 $k$ 的域扩张 $K$ 作为 $k$-代数有限生成, 则该扩张是有限扩张.

由 Zariski 引理可以推导出 Hilbert 零点定理的一个较弱版本.

1陈述与证明

对交换环 $A$, 子环 $R\subset A$, 及固定的元素 $a_1,\dots ,a_n\in A$, 我们记 $R[a_1,\dots ,a_n]$ 为 $A$ 中由 $R,a_1,\dots ,a_n$ 生成的子环.

定理 1.1 (Zariski 引理). 设 $k\subset K$ 是域扩张, 且存在元素 $x_1,\dots ,x_n\in K$ 满足 $K=k[x_1,\dots ,x_n]$. 则 $x_1,\dots ,x_n$ 在 $k$ 上代数, 从而 $K$ 是 $k$ 的有限扩张.

证明. 对 $n$ 归纳. $n=1$ 时命题明显, 我们假设证明命题对 $n-1$ 成立. 因为 $K$ 是域, 所以$$K=(k[x_1])[x_2,\dots ,x_n]=(k(x_1))[x_2,\dots ,x_n].$$由归纳假设, $x_2,\dots ,x_n$ 在 $k(x_1)$ 上代数. 回忆对于扩张链 $k\subseteq E\subseteq F$, $F/E$ 代数和 $E/k$ 代数蕴含 $F/k$ 代数. 所以只须证明 $x_1$ 在 $k$ 上代数就好了.

对每个 $x_i$ ($i\ge 2$), 因为 $x_i$ 在 $k(x_1)$ 上代数, 所以存在 $k[x_1]$ 中的非零元素, 其与 $x_i$ 的积在 $k[x_1]$ 上整. 记这一元素为 $a_i(x_1)$ ($a_i(X)\in k[X]$). 则 $a(x_1)\stackrel{\text{def}}{=}{\prod }_{i=2}^n{a}_i(x_1)$ 非零, 且对于 $i\ge 2$, $a(x_1)x_i$ 在 $k[x_1]$ 上整. 于是对每个 $x_2,\dots ,x_n$ 的单项式 ${\prod }_{i=1}^n{x}_i^{k_i}$, 存在 $N\in {\mathbb{Z}}_{+}$ 使 $a(x_1{)}^N{\prod }_{i=1}^n{x}_i^{k_i}$ 在 $k[x_1]$ 上整 (整元素对乘法封闭, 取 $N\ge {\sum }_{i=2}^n{k}_i$ 即可). 整元素也对加法封闭, 于是对每个 $x_2,\dots ,x_n$ 的系数取自 $k[x_1]$ 的多项式 $f(x_2,\dots ,x_n)$, 存在 $N$ 使得 $a(x_1{)}^{N}f(x_2,\dots ,x_n)$ 在 $k[x_1]$ 上整. 因为 $K$ 是域, 所以 $k(x_1)\subseteq K=(k[x_1])[x_2,\dots ,x_n]$, 即 $k(x_1)$ 中的每个元素也可以表为 $x_2,\dots ,x_n$ 的系数取自 $k[x_1]$ 的多项式. 所以对任意 $\xi \in k(x_1)$, 存在 $N$ 使得 $a(x_1{)}^N\xi$ 整于 $k[x_1]$. 如果 $x_1$ 在 $k$ 上超越, 则 $k[x_1]$ 是主理想整环, 主理想整环整闭, 所以对任意 $\xi \in k(x_1)$, 存在 $N$ 使得 $a(x_1{)}^N\xi \in k[x_1]$, 矛盾.

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2推论

弱 Hilbert 零点定理

Zariski 引理的下述推论也被称作弱 Hilbert 零点定理, 即 Hilbert 零点定理的一个弱版本.

推论 2.1. 设 $k$ 是代数闭域.

1.	$n$ 元多项式环 $k[X_1,\dots ,X_n]$ 的极大理想 $\mathfrak{m}$ 必然形如由 $X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n$ 生成的理想.
2.	对任一理想 $I⫋k[X_1,\dots ,X_n]$, 存在 $x_1,\dots ,x_n\in k$, $f(x_1,\dots ,x_n)=0$ 对任意 $f\in I$ 成立.

证明. (1) 考虑 $k$ 通过 $\psi :a\mapsto a+\mathfrak{m}$ 视作 $k[X_1,\dots ,X_n]/\mathfrak{m}$ 的子域 $\psi (k)$. 由 Zariski 引理, $k[X_1,\dots ,X_n]/\mathfrak{m}=\psi (k)[X_1+\mathfrak{m},\dots ,X_n+\mathfrak{m}]$ 是 $\psi (k)$ 的代数扩张, 但是 $k$ 代数闭, 所以 $\{a+\mathfrak{m}:a\in k\}=k[X_1,\dots ,X_n]/\mathfrak{m}$, 特别地, 对每个 $X_i$, 存在 $a_i\in k$ 使 $X_i+\mathfrak{m}=a_i+\mathfrak{m}$, 即 $X_i-a_i\in \mathfrak{m}$. 另一方面, 考虑环同态 $k[X_1,\dots ,X_n]\mapsto k$, $X_i\mapsto a_i$, 这是满同态且同态核恰为由 $X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n$ 生成的理想 (这可以从每个 $X_1,\dots ,X_n$ 的多项式亦可表为 $X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n$ 的多项式看出). 所以 $(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n)$ 业已是一个极大理想, 从而 $\mathfrak{m}=(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n)$. 这证明了 (1).

(2) 对于极大理想 $\mathfrak{m}=(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n)$, $f(a_1,\dots ,a_n)=0$ 对任意 $f\in \mathfrak{m}$ 成立. 一个真理想一定包含于一个极大理想.

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3相关概念