Weil 限制

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

Weil 限制是代数几何中的常用构造, 是基变换的右伴随. 例如复代数簇 $X$ Weil 限制到实数, 直观上就是把 $X$ 的复点看成实代数簇写出来, 比如 ${\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}^1$ 的 Weil 限制是 ${\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}^2$, ${\mathbb{G}}_{m,\mathbb{C}}$ 的 Weil 限制是 ${\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}^2\setminus \{x^2+y^2=0\}$.

1定义

定义 1.1. 设 $f:T\to S$ 是概形态射, $X:{\mathsf{Sch}}_T^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 是 $T$-概形上的 Zariski 层. $X$ 在 $S$ 上的 Weil 限制, 记作 ${\mathrm{Res}}_{T/S}(X)$ 或 $f_{\ast }X$, 指的是 $S$-概形上的预层 $U\mapsto X(U{\times }_{S}T)$. 它显然是 Zariski 层. 如它被概形或代数空间表示, 则也把这个概形或代数空间称为 Weil 限制, 也记作 ${\mathrm{Res}}_{T/S}(X)$. 如 $T=\mathrm{Spec}(B)$、$S=\mathrm{Spec}(A)$ 是仿射概形, 则 Weil 限制也记作 ${\mathrm{Res}}_{B/A}(X)$.

注 1.2. 这里 $T$ 和 $S$ 当然也不必是概形, 而可以是预层 $\mathsf{Ring}\to \mathsf{Set}$, 其中 $\mathsf{Ring}$ 表示环范畴. 此时 Weil 限制可直接定义为基变换函子 $-{\times }_{S}T:\mathsf{Fun}(\mathsf{Ring},\mathsf{Set})\to \mathsf{Fun}(\mathsf{Ring},\mathsf{Set})$ 的右伴随. 由伴随函子定理, 在适当的可达条件下这个右伴随存在.

注 1.3. Weil 限制是右伴随, 保持极限, 故而 (交换) 群层的 Weil 限制自然带有 (交换) 群层结构.

2性质

Weil 限制作为函子性质非常简单, 不平凡的是可表性.

定理 2.1. 设 $A\to B$ 是环同态, $B$ 是有限生成投射 $A$-模, $X\to \mathrm{Spec}(B)$ 是仿射 $B$-概形. 则 ${\mathrm{Res}}_{B/A}(X)$ 是仿射 $A$-概形.

证明. 注意:

•	仿射概形作为预层的极限还是仿射概形;
•	仿射概形都是一些仿射直线的极限;
•	Weil 限制保持极限;

所以只需对仿射直线 $X={\mathbb{A}}_B^1$ 证明定理. 此时需要说明 ${\mathsf{Ring}}_A$ 上的函子 $C\mapsto C{\otimes }_{A}B$ 可表. 记 $B^{\vee }={\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Mod}}_A}(B,A)$, 则由条件, $$C{\otimes }_{A}B={\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Mod}}_A}(B^{\vee },C)={\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{Ring}}_A}({\mathrm{Sym}}_A(B^{\vee }),C)$$为可表函子.

$\square$

定理 2.2. 设 $T\to S$ 是有限表现有限平坦概形态射, $X$ 是 $T$-概形, 满足对任意 $t\in T$ 以及任意有限个点 $x_1,\dots ,x_n\in X_t$, 都存在仿射开子集 $U\subseteq X_t$ 包含 $x_1,\dots ,x_n$. 则 ${\mathrm{Res}}_{T/S}(X)$ 是概形.

注 2.3. 定理 2.2 的条件在 $X$ 是拟射影 $T$-概形时成立.

定理 2.4. 设 $T\to S$ 是有限表现有限平坦代数空间态射, $X$ 是 $T$ 上拟紧拟分离代数空间. 则 ${\mathrm{Res}}_{T/S}(X)$ 是 $S$ 上拟紧拟分离代数空间.

3例子

4参考文献

•

Lena Ji, Shizhang Li, Patrick McFaddin, Drew Moore, and Matthew Stevenson. “Weil restriction for schemes and beyond”. In: Stacks Project Expository Collection. Ed. by Pieter Belmans, Wei Ho, and Aise Johan de Jong. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, 2022, pp. 194–221.

5相关概念

术语翻译

Weil 限制 • 英文 Weil restriction