覆叠空间

覆叠空间是形如 $p:E\to B$ 的映射, 它将拓扑空间 $E$ 覆盖于 $B$ 上, 可能覆盖多层, 并且在局部上是同胚. 例如, 将实直线 $\mathbb{R}$ 环绕于圆周 $S^1$ 上的映射$$\begin{array}{rl}p:\mathbb{R}& \to S^1,\\ t& \mapsto {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}t}\end{array}$$是覆叠空间.

1定义

定义 1.1 (覆叠空间). 覆叠空间 (或覆叠映射) 是拓扑空间之间的连续映射 $p:E\to B$, 满足以下性质:

•	对任何 $b\in B$, 存在 $b$ 的邻域 $U\subset B$, 使得原像 $p^{-1}(U)$ 可以写成不交并 ${\coprod }_{i\in I}{U}_i$, 使得每个 $p{|}_{U_i}$ 都是到 $U$ 的同胚.

除此之外, 如果每点 $b\in B$ 的原像都恰好包含 $n$ 个点, 就称该覆叠为 $\mathbf{n}$ 重覆叠,

2例子

•	对任何拓扑空间 $X$, 恒同映射 $1_X:X\to X$ 是覆叠空间.

•	对任何整数 $n\ge 0$, 自然的映射 $S^n\to \mathbb{R}{\mathrm{P}}^n$ 是二重覆叠空间.

3性质

一般拓扑性质

(...)

提升性质

(...)

覆叠空间基本定理

(...)

万有覆叠

定义 3.1. 在覆叠映射 $p:E\to B$ 中, 若 $E$ 单连通, 那么称它为万有覆叠.

术语翻译

覆叠空间 • 英文 covering space • 德文 Überlagerungsraum (m) • 法文 revêtement (m)

$n$ 重覆叠 • 英文 $n$-fold covering