Auslander–Buchsbaum 定理

注意区分本文与 “Auslander–Buchsbaum 公式”.

Auslander–Buchsbaum 定理是个交换代数定理, 内容为: 正则局部环都是唯一分解整环.

1陈述与证明

定理 1.1 (Auslander–Buchsbaum 定理). 任何正则局部环 $(A,\mathfrak{m})$ 都是唯一分解整环.

证明. 对 $A$ 的维数 $\dim A$ 归纳. 如果 $\dim A=0$ 则 $A$ 是域故显然为唯一分解整环. 如果 $\dim A=1$ 则 $A$ 是离散赋值环, 自然也是唯一分解整环.

如果 $\dim A<n(n>1)$ 时命题都成立, 下面证明 $\dim A=n$ 时命题成立. 取 $x\in \mathfrak{m}\setminus {\mathfrak{m}}^2$, 则 $\{x\}$ 能延拓到 $A$ 的一个参数系, 从而 $A/xA$ 也是正则局部环, 从而是整环; 这表明 $x$ 是 $A$ 的素元. 记 $S=\{1,x,x^2,\cdots \}$ 是 $x$ 生成的乘闭子集, 根据唯一分解整环的等价刻画, 只需证明 $A_x:=S^{-1}A$ 是唯一分解整环即可. 再根据

引理 1.2. 如果有诺特整环满足高度 $1$ 的素理想都是主理想, 则其为唯一分解整环.

我们只需证明 $A_x$ 的任何高度 $1$ 的素理想 $P$ 都是其主理想.

记 $\mathfrak{p}=P\cap A$, 那么 $P=\mathfrak{p}{A}_x$. 由于 $A$ 是正则局部环, 其整体维数 $gl.dimA<\infty$, 故 $\mathfrak{p}$ 作为有限生成 $A$-模有有限投射消解. 利用 Schanuel 引理, 容易得到 $\mathfrak{p}$ 有 有限自由消解. 所以 $A_x$-模 $P$ 也有有限自由消解.

对 $A_x$ 的任何素理想 $Q$ 来说, $x\notin Q$, 故 $(A_x{)}_Q=A_{Q\cap A}$ 比 $A$ 的维数低. 同时由于它还是 $A$ 在素理想处的局部化, 根据 Serre 定理 $(A_x{)}_Q$ 是正则局部环; 于是可以利用归纳假设, 知道 $(A_x{)}_Q$ 是唯一分解整环, 且 $P_Q$ 要么高度 $1$ (从而根据唯一分解整环的性质是主理想) , 要么是 $(A_x{)}_Q$ 本身; 无论如何 $P_Q$ 是 $(A_x{)}_Q$-有限自由模. 根据

引理 1.3. 对交换环 $A$ 上的模 $M$ 而言, 下列条件等价:

•	$M$ 是 $A$-投射模.
•	对 $A$ 的任何极大理想 $\mathfrak{m}$, $M_{\mathfrak{m}}$ 是 $A_{\mathfrak{m}}$-自由模.

得到 $P$ 是 $A_x$-投射模.

综上, $P$ 是有有限自由消解的 $A_x$-投射模. 利用

引理 1.4. 有限生成投射模若有有限自由消解则为稳定自由模.

得到 $P$ 是 $A_x$-稳定自由模, 即存在正整数 $m,r\ge 0$ 使得 $A_x^{m+r}\simeq P\oplus A_x^m$. 在 $P$ 处取局部化, 根据 $P$ 高度为 $1$ 及 Serre 定理得到 $(A_x{)}_P$ 是维数 $1$ 的正则局部环, 即离散赋值环, 且 $P(A_x{)}_P$ 成为主理想; 再利用离散赋值环上有限生成模的结构定理, 两边取秩, 得到 $r$ 必须是 1.

记上面的同构 $A_x^{m+r}\simeq P\oplus A_x^m$ 为 $\phi :A_x^{m+1}\to P\oplus A_x^m$. 取左边 $A_x^{m+1}$ 的基底为 $(e_0,\cdots ,e_m)$, 右边 $A_x^m$ 的基底为 $(f_1,\cdots ,f_m)$, 同时视 $P$ 为 $A_x$ 的 $A_x$-子模并记该 $A_x$ 的基底为 $(f_0)$, 则存在系数矩阵 $M=(a_{ij}{)}_{i=0,j=0}^{m,m}$ 使得$$\phi (e_i)=\sum _{j=0}^m{a}_{ij}{f}_j.$$

下面考虑$$e_0^{\prime }=\sum _{i=0}^m{a}_{i0}^{\prime }{e}_i,e_j^{\prime }={\phi }^{-1}(f_j)(0<j\le m).$$其中 $a_{ij}^{\prime }$ 是 $M$ 在 $(i,j)$ 处的代数余子式. 由于 $(e_i)$ 是基, 所以存在系数矩阵 $N\in A_x^{(m+1)\times (m+1)}$ 使得$$(e_0^{\prime },\cdots ,e_m^{\prime }{)}^T=N(e_0,\cdots ,e_m{)}^T$$(这里 $T$ 表示转置, 下同) 且显然有 $N$ 的第一行第 $k$ 列是 $a_{k0}^{\prime }$. 于是由构造方法有$$\left(\mathrm{diag}(\det M,1,\cdots ,1)\right)(f_0,\cdots ,f_m{)}^T=(\phi (e_0^{\prime }),\cdots ,\phi (e_m^{\prime }){)}^T=NM(f_0,\cdots ,f_m{)}^T.$$从而 $NM=\mathrm{diag}(\det M,1,\cdots ,1)$. 取行列式, 并利用 $A_x$ 是整环, 得到: $$\det N=1.$$于是 $(e_0^{\prime },\cdots ,e_m^{\prime })$ 也是 $A_x^{m+1}=⟨(e_0,\cdots ,e_m)⟩$ 的基. 考虑这组基, 得到$$P{f}_0=A_x\phi (e_0^{\prime })=\det M\cdot A_x{f}_0，A_x{f}_j=A_x\phi (e_j^{\prime })(0<j\le m).$$从而 $P=\det M\cdot A_x$, 是 $A_x$ 的主理想.

综上所述, $A_x$ 的任何高度 $1$ 的素理想 $P$ 都是其主理想, 所以 $A_x$ 是唯一分解整环, 从而 $A$ 也是唯一分解整环.

$\square$

2相关概念

•	正则局部环
•	Auslander–Buchsbaum 公式

术语翻译

Auslander–Buchsbaum 定理 • 日文 Auslander–Buchsbaum の定理