正则环

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

正则环是交换代数中对光滑流形的一种模拟, 指的是切空间维数总等于环本身维数这样的环.

1定义

定义 1.1. 正则局部环指的是 Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m},k)$, 满足 ${\dim }_k(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)=\dim R$. 正则环指的是在每个素理想处局部化都是正则局部环的 Noether 环.

注 1.2. 由维数理论, ${\dim }_k(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)\ge \dim R$.

注 1.3. 从定义并不能立即看出正则局部环都是正则环. 我们会在下面证明此事.

对不 Noether 的环也有个合理的定义, 不过目前尚且难以研究其性质.

定义 1.4. 说环 $A$ 是凝聚正则环, 指的是任一有限表现 $A$-模都有由有限生成投射模组成的有限长度投射消解.

注 1.5. 从定义不难看出凝聚正则环都是凝聚环, 但不能立即看出凝聚正则 Noether 环和正则环是一回事. 有了下面一些命题之后就容易看出了.

2初等性质

这里 “初等” 指的是不需要同调代数.

命题 2.1 (分次环判别). Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m},k)$ 正则当且仅当其分次环 ${⨁}_{n=0}^{\infty }{\mathfrak{m}}^n/{\mathfrak{m}}^{n+1}$ 为 $k$ 上多项式环. 此时 $R$ 的维数等于该多项式环的变元个数.

证明. 记 $S={⨁}_{n=0}^{\infty }{\mathfrak{m}}^n/{\mathfrak{m}}^{n+1}$ 为 $(R,\mathfrak{m})$ 的分次环, $P=\mathrm{Sym}(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)={⨁}_{n=0}^{\infty }{\mathrm{Sym}}^n(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)$ 为多项式环. 则 ${\mathrm{Sym}}^n(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)$ 到 ${\mathfrak{m}}^n/{\mathfrak{m}}^{n+1}$ 的自然映射给出环满射 $P\to S$, 命题相当于说 $R$ 正则当且仅当这是同构. 记 $d={\dim }_k(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)$, 则 $\dim P=d$. 由 $P\twoheadrightarrow S$, 有 $\dim S\le d$. 由 $P$ 是整环知 $P\cong S$ 当且仅当 $\dim S=d$.

考虑 $S$ 的理想 $S_{+}={⨁}_{n=1}^{\infty }{\mathfrak{m}}^n/{\mathfrak{m}}^{n+1}$, 则不难发现 $S$ 关于 $S_{+}$ 的 Hilbert–Samuel 多项式等于 $R$ 的 Hilbert–Samuel 多项式. 所以如 $R$ 正则, 由维数理论便知 $\dim S\ge d$, 故 $P\cong S$. 反过来如 $P\cong S$, 则可具体算出此 Hilbert–Samuel 多项式, 为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d-1}{d}\right)$, 为 $d$ 次, 故 $\dim R=d$, $R$ 为正则.

$\square$

推论 2.2. 正则局部环是整环.

证明. 记号同上. 如 $a,b\in R$ 为非零元, 由 Krull 交定理可设 $a\in {\mathfrak{m}}^n\setminus {\mathfrak{m}}^{n+1}$, $b\in {\mathfrak{m}}^m\setminus {\mathfrak{m}}^{m+1}$. 于是由命题 2.1, $ab\in {\mathfrak{m}}^{m+n}\setminus {\mathfrak{m}}^{m+n+1}$, 特别地 $ab\ne 0$.

$\square$

命题 2.3 (切片判别). 设 $(R,\mathfrak{m},k)$ 是 Noether 局部环, $r\in \mathfrak{m}$ 不在任一极小素理想中 (比如它是非零因子). 如果 $R/r$ 正则, 那么 $R$ 也正则, 且 $r\notin {\mathfrak{m}}^2$, $\dim R=\dim R/r+1$. 反过来如果 $R$ 正则, $r\in \mathfrak{m}\setminus {\mathfrak{m}}^2$, 那么 $R/r$ 也正则.

证明. 以 $\bar{\mathfrak{m}}$ 记 $R/r$ 的极大理想, 则由同构定理 $\bar{\mathfrak{m}}/{\bar{\mathfrak{m}}}^2=\mathfrak{m}/({\mathfrak{m}}^2+(r))$ 维数至少是 ${\dim }_k(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)-1$, 取等当且仅当 $r\notin {\mathfrak{m}}^2$. 而由 $r$ 不在任一极小素理想中, 由 Krull 高度定理知 $\dim R/r=\dim R-1$. 于是如果 $R/r$ 正则, 就有$$\dim R=\dim R/r+1={\dim }_k(\bar{\mathfrak{m}}/{\bar{\mathfrak{m}}}^2)+1\ge {\dim }_k(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2),$$故 $R$ 正则且以上不等号取等, 即 $r\notin {\mathfrak{m}}^2$. 反过来如果 $R$ 正则且 $r\notin {\mathfrak{m}}^2$, 同样的计算得到 ${\dim }_k(\bar{\mathfrak{m}}/{\bar{\mathfrak{m}}}^2)=\dim R/r$, 故 $R/r$ 正则.

$\square$

推论 2.4. Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m},k)$ 正则当且仅当 $\mathfrak{m}$ 被正则序列生成. 此时如 $x_1,\dots ,x_m\in \mathfrak{m}$ 在 $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ 的像 $k$-线性无关, 则它是正则序列.

证明. 只需证后一句话, 因为这样的话取 $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ 的一组基, 由 Nakayama 引理便知前一句话. 对 $m$ 归纳. $m=1$ 时是因为推论 2.2, 一般情况是因为命题 2.3.

$\square$

推论 2.5. 正则环是 Cohen–Macaulay 环.

证明. 由定义及上一个推论显然.

$\square$

命题 2.6 (纤维判别). $(R,\mathfrak{m},k)\to (S,\mathfrak{n},\ell )$ 是 Noether 局部环的平坦局部同态. 如 $R$ 和 $S/\mathfrak{m}S$ 都正则, $S$ 就也正则.

证明. 对 $d=\dim R$ 归纳. $d=0$ 时 $\mathfrak{m}=0$, $S/\mathfrak{m}S=S$, 命题显然. $d>0$ 时取 $r\in \mathfrak{m}\setminus {\mathfrak{m}}^2$, 考虑映射 $R/r\to S/rS$. 由命题 2.3 及归纳假设知 $S/rS$ 正则. 由于 $R\to S$ 平坦, $r$ 不是 $R$ 的零因子 (因 $R$ 为整环), 有 $r$ 不是 $S$ 的零因子. 所以由命题 2.3 的另一个方向知 $S$ 正则.

$\square$

命题 2.7 (滤余极限). 设 $\{(R_i,{\mathfrak{m}}_i){\}}_{i\in I}$ 是正则局部环沿局部同态组成的滤相系. 只要滤余极限 $R={\mathrm{colim}}_{i\in I}{R}_i$ 是 Noether 环, 它就是正则局部环.

证明. 利用局部环的元素刻画 “对任意 $r\in R$ 都有 $r\in R^{\times }$ 或 $1-r\in R^{\times }$”, 容易验证 $R$ 是局部环. 记其极大理想为 $\mathfrak{m}$, 剩余域为 $k$, 我们对 $\mathfrak{m}$ 的生成元个数即 ${\dim }_k(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)$ 归纳. 取 $r\in \mathfrak{m}\setminus {\mathfrak{m}}^2$, 并取 $i\in I$ 使其被 $R_i$ 中的 $r_i\in {\mathfrak{m}}_i$ 代表. 则由 $r\notin {\mathfrak{m}}^2$, 对每个 $j\ge i$, $r_i$ 在 $R_j$ 的像 $r_j$ 也都不属于 ${\mathfrak{m}}_j^2$. 不难发现 $R$ 是整环, 所以 $r$ 不是零因子. 而由归纳假设 $R/r={\mathrm{colim}}_{j\ge i}{R}_j/r_j$ 是正则局部环. 故由命题 2.3 知 $R$ 也是正则局部环.

$\square$

3同调性质

以下定理常称为 “同调判别法”, 由 Jean-Pierre Serre 发现并证明. 这开启了交换代数研究中的同调方法.

定理 3.1 (Serre). 对 Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m},k)$, 以下条件等价:

•	$R$ 是正则局部环.
•	$R$ 的整体维数等于 $\dim R$.
•	$R$ 的整体维数有限.

此外, Noether 环的整体维数有限当且仅当它 Krull 维数有限且为正则环.

注意 Noether 环整体维数和 $\mathrm{Tor}$-维数一样, 故定理中的整体维数也可改成 $\mathrm{Tor}$-维数.

证明.

•

如 $R$ 正则, 由推论 2.4 知 $\mathfrak{m}$ 由正则序列生成. 于是 Koszul 复形就是 $k$ 的 $\dim R$ 项自由消解. 由构造易知它就是 $k$ 的极小消解, 于是由极小复形的理论, $$gl.\dim R={\mathrm{fd}}_R(k)=\dim R.$$

•

如 $R$ 整体维数有限, 我们对 $e={\dim }_k(\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2)$ 归纳证明 $R$ 正则. $e=0$ 时 $R$ 是域, 当然正则. 设 $e>0$ 且命题对小于 $e$ 的数成立. 现如果 $\mathfrak{m}\in \mathrm{Ass}(R)$, 取非零的 $a\in R$ 使得 $\mathfrak{m}a=0$. 由 $R$ 整体维数有限, $k$ 有有限项极小消解$$0\to F_n\to \cdots \to F_0\to k\to 0,$$从中可看出 $F_n\subseteq \mathfrak{m}{F}_{n-1}$. 这样一来 $a{F}_n=0$, 与 $F_n$ 自由矛盾! 故 $\mathfrak{m}\notin \mathrm{Ass}(R)$. 而结合素理想只有有限个, 故用素理想回避可取出元素 $r\in \mathfrak{m}$, 使得 $r$ 不在 ${\mathfrak{m}}^2$ 及任一结合素理想中, 即 $r$ 不是零因子. 现只需证 $R/r$ 整体维数有限, 这样用归纳假设和切片判别就会得到结论. 由极小复形的理论 $gl.\dim R/r={\mathrm{fd}}_{R/r}(k)$, 故只需证 ${\mathrm{fd}}_{R/r}(k)<\infty$. 取一步消解$$0\to \mathfrak{m}/(r)\to R/r\to R/\mathfrak{m}=k\to 0,$$只需证 ${\mathrm{fd}}_{R/r}(\mathfrak{m}/(r))<\infty$. 为此, 首先注意 ${\mathrm{fd}}_{R/r}(\mathfrak{m}/r\mathfrak{m})<\infty$, 因为由 $R$ 整体维数有限, $\mathfrak{m}$ 有有限项 $R$-自由消解$$0\to G_n\to \cdots \to G_0\to \mathfrak{m}\to 0;$$然后由于 $r$ 不是零因子, 乘以 $r$ 在各项上都是单射, 故上面的链复形各项商 $r$ 仍然正合, 就得到 $\mathfrak{m}/r\mathfrak{m}$ 有有限项 $R/r$-自由消解, 即 ${\mathrm{fd}}_{R/r}(\mathfrak{m}/r\mathfrak{m})<\infty$. 其次注意 $\mathfrak{m}/(r)$ 是 $\mathfrak{m}/r\mathfrak{m}$ 的直和项: 取 $r_2,\dots ,r_e\in \mathfrak{m}$ 使得 $r,r_2,\dots ,r_e$ 在 $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ 的像构成其一组 $k$-基, 令 $\mathfrak{r}=(r_2,\dots ,r_e)$, 则 $\mathfrak{m}=\mathfrak{r}+(r)$. 模 ${\mathfrak{m}}^2$ 易知 $\mathfrak{r}\cap (r)⫋(r)$, 于是 $\mathfrak{r}\cap (r)\subseteq r\mathfrak{m}$, 从而有映射$$\mathfrak{m}/(r)=\frac{\mathfrak{r}+(r)}{(r)}=\frac{\mathfrak{r}}{\mathfrak{r}\cap (r)}\to \mathfrak{m}/r\mathfrak{m}.$$对 $\mathfrak{m}$ 的生成元 $r,r_2,\dots ,r_e$ 分别检查, 不难发现此映射复合 $\mathfrak{m}/r\mathfrak{m}\to \mathfrak{m}/(r)$ 的自然映射之后为 $\mathrm{id}$, 即 $\mathfrak{m}/(r)$ 是 $\mathfrak{m}/r\mathfrak{m}$ 的直和项, 故$${\mathrm{fd}}_{R/r}(\mathfrak{m}/(r))\le {\mathrm{fd}}_{R/r}(\mathfrak{m}/r\mathfrak{m})<\infty ,$$命题得证.

最后一句话则是因为 Noether 环整体维数等于 $\mathrm{Tor}$-维数, 而我们有$$\dim A=\sup \{\dim A_{\mathfrak{p}}\mid \mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A\},$$$$tor-dimA=\sup \{tor-dim{A}_{\mathfrak{p}}\mid \mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A\},$$故要 $tor-dimA<\infty$, 只有各个 $A_{\mathfrak{p}}$ 都正则, 并且 $\dim A<\infty$.

$\square$

推论 3.2. 正则局部环的局部化还是正则局部环.

证明. 由于平坦模的局部化仍平坦, 有$$tor-dim{R}_{\mathfrak{p}}\le tor-dimR,$$由此立得结论.

$\square$

推论 3.3 (忠实平坦下降). $R\to S$ 是忠实平坦同态, $S$ 是正则环, 则 $R$ 也是正则环, 维数不超过 $S$ 的维数.

证明. 只需证局部环局部同态情形. 此时只需证 $\mathrm{tor}\text{-}\dim R\le \mathrm{tor}\text{-}\dim S$. 这是因为对 $R$-模 $M,N$, 由平坦性有$${\mathrm{Tor}}_i^R(M,N){\otimes }_{R}S={\mathrm{Tor}}_i^S(M{\otimes }_{R}S,N{\otimes }_{R}S),$$在 $i>\mathrm{tor}\text{-}\dim S$ 时为 $0$; 由忠实平坦, 这说明 ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,N)$ 在 $i>\mathrm{tor}\text{-}\dim S$ 时为 $0$, 即 $\mathrm{tor}\text{-}\dim R\le \mathrm{tor}\text{-}\dim S$.

$\square$

用同调判别法加上唯一分解整环的一些刻画, 可以得到正则局部环唯一分解.

定理 3.4. 正则局部环都是唯一分解整环.

4例子

5$({\text{R}}_k)$ 条件

$({\text{R}}_k)$ 条件指的是在高度 $k$ 或者说余维 $k$ 正则. 它几何意义明确, 有时会给 Noether 环的研究带来方便.

定义 5.1. 称 Noether 环 $A$ 满足 $({\text{R}}_k)$ 条件, 意思是对其中高度不大于 $k$ 的素理想 $\mathfrak{p}$, 都有 $A_{\mathfrak{p}}$ 正则.

例 5.2. 依定义, 正则环即为对任意自然数 $k$ 都满足 $({\text{R}}_k)$ 条件的环. 由于一维局部环正规和正则是一回事, 都是离散赋值环, 有正规环满足 $({\text{R}}_1)$.

6相关概念

•	切空间 (代数几何)
•	正则序列
•	正则理想
•	Cohen 结构定理
•	正规环
•	Cohen–Macaulay 环
•	奇迹平坦

术语翻译

正则环 • 英文 regular ring • 德文 regulärer Ring • 法文 anneau régulier • 拉丁文 anellus regularis • 古希腊文 κανονικὸς δακτύλιος