Deligne–Serre 提升引理

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• 文中夹杂英文.
• 过度使用记号 $\forall$.
• 不应有自定义命令.
• 缺少术语翻译.

Deligne–Serre 提升引理是一个交换代数的命题, 说的是如何将 “只在同余意义下成立的 Hecke 特征形式” 提升为真正的 Hecke 特征形式, 其在模形式的同余问题里具有重要应用.

1陈述

固定一些记号.

•	$(R,\mathfrak{m})$ 是一个离散赋值环, 剩余域为 $k$, 分式域为 $K$.
•	$M$ 是一个有限秩的自由 $R$-模.
•	$S\subset {\mathrm{End}}_R(M)$ 是一族两两交换的自同态.(可想象成是 Hecke 算子.)

定理 1.1 (Deligne–Serre). 若有 $0\ne f\in R$ 及 $(a_T{)}_{T\in S}\subseteq k$, 满足 $\forall T\in S,Tf\equiv a_{T}f(\mathrm{mod}\mathfrak{m}M)$, 则存在

•	离散赋值环 $(R^{\prime },{\mathfrak{m}}^{\prime })$, 分式域 $K^{\prime }$, 满足 $R\subseteq R^{\prime }$, ${\mathfrak{m}}^{\prime }\cap R=\mathfrak{m}$, $K^{\prime }$ 是 $K$ 的有限扩张;
•	$0\ne f^{\prime }\in R^{\prime }{\otimes }_{R}M$ 及 $(a_T^{\prime }{)}_{T^{\prime }\in S}\subseteq R^{\prime }$,

满足 $\forall T\in S,T{f}^{\prime }=a_T^{\prime }{f}^{\prime }$, 且 $\forall T\in S,a_T^{\prime }\equiv a_T(\mathrm{mod}{\mathfrak{m}}^{\prime })$.

2证明

Step 1: 可以取到满足定理陈述第一条的环扩张 $R^{\prime }$, 使得 $S$ 中的算子的特征值均在 $R^{\prime }$ 内.

证明. 令 $\mathbb{T}\subseteq {\mathrm{End}}_R(M)$ 是由 $S$ 生成的 $R$-代数. 由于 ${\mathrm{End}}_R(M)$ 是有限秩自由 $R$-模, 子模 $\mathbb{T}$ 亦然 (利用 $R$ 是主理想整环). 取 $T_1,\cdots ,T_n$ 为 $\mathbb{T}$ 在 $R$ 上的一组基, 在 $K$ 中添加 $T_1,\cdots ,T_n$ 的极小多项式的根 (注意它们在 $R$ 上整), 可得到 $K$ 的有限扩张 $K^{\prime }$.

取 $R$ 在 $K^{\prime }$ 中的整闭包 $\tilde{R}$, 则由 Krull–Akizuki 定理得到 $\tilde{R}$ 是 Dedekind 环. 取 $\tilde{R}$ 的一个极大理想 $\tilde{\mathfrak{m}}$, 那么容易验证 $(R^{\prime },{\mathfrak{m}}^{\prime })=({\tilde{R}}_{\tilde{\mathfrak{m}}},\tilde{\mathfrak{m}}{\tilde{R}}_{\tilde{\mathfrak{m}}})$ 即满足要求.

$\square$

为使记号轻便, 通过用 $R^{\prime }{\otimes }_{R}M$ 替换 $M$, 用 $R^{\prime }{\otimes }_R\mathbb{T}$ 替换 $\mathbb{T}$, 以下假设 $R$ 已满足 Step 1 中性质.

Step 2: 构造定理陈述第二条中的 $\{a_T^{\prime }{\}}_{T\in S}$.

证明. 考虑由 $T\mapsto a_T$ 确定的环同态 $\lambda :\mathbb{T}\to k$. 由于 $R\subseteq \mathbb{T}$, $\lambda$ 是满射, 从而 $\ker (\lambda )$ 是 $\mathbb{T}$ 的极大理想. 选取 $\ker (\lambda )$ 的一个极小素理想 $\wp$, 其中的元素都是 $\mathbb{T}$ 中的零因子. 由于 $\mathbb{T}$ 在 $R$ 上自由, 从而 $\wp \cap R=\{0\}$.

记 ${\mathbb{T}}_K=K{\otimes }_R\mathbb{T}$, 其是 $T$ 对 $R-\{0\}$ 的局部化, 因此由上所述 $\wp$ 在 ${\mathbb{T}}_K$ 中生成一个素理想 $\mathfrak{p}$. 注意到 ${\mathbb{T}}_K$ 是一个 Artin 环, 因此 $\mathfrak{p}$ 也是一个极大理想. 于是由 Step 1, $$K\cong {\mathbb{T}}_K/\mathfrak{p}\cong (\mathbb{T}/\wp ){\otimes }_{R}K.$$但注意到 $\mathbb{T}/\wp$ 是 $R$ 的整扩张且 $R$ 在 $K$ 中整闭, 因此 $\mathbb{T}/\wp \cong R$. 于是考查环同态 ${\lambda }^{\prime }:\mathbb{T}\to \mathbb{T}/\wp \cong R$, 对任意 $T\in S$, 令 $a_T^{\prime }={\lambda }^{\prime }(T)$ 即为所求.

选取 $\widetilde{a_T}\in R$ 是 $a_T$ 的一个提升, 则 $(T-\widetilde{a_T})\in \ker (\lambda )$. 因此 ${\lambda }^{\prime }(T-\widetilde{a_T})=a_T^{\prime }-\widetilde{a_T}\in \mathfrak{m}$, 这就意味着 $a_T^{\prime }\equiv \widetilde{a_T}\equiv a_T(\mathrm{mod}\mathfrak{m})$, 满足定理陈述中的同余性质.

$\square$

Step 3 构造定理所需的 $f^{\prime }$.

证明. 记 $M_K=M{\otimes }_{R}K$. 由于 ${\mathbb{T}}_K\subseteq {\mathrm{End}}_K(M_K)$, 易见 ${\mathrm{Ann}}_{{\mathbb{T}}_K}(M_K)=\{0\}$, 从而 $\mathfrak{p}\in {\mathrm{Supp}}_{{\mathbb{T}}_K}(M_K)$.

但另一方面, $\mathfrak{p}$ 是 ${\mathbb{T}}_K$ 的极小素理想, 因此由结合素理想的理论可知, $\mathfrak{p}\in {\mathrm{Ass}}_{{\mathbb{T}}_K}(M_K)$. 从而存在 $f^{\prime }\in M_K$ 使得 $\mathfrak{p}={\mathrm{Ann}}_{{\mathbb{T}}_K}(f^{\prime })$, 通过适当调整系数可使 $f^{\prime }\in M$, 则由于 $(T-a_T^{\prime })\in \mathfrak{p}$, 成立 $T{f}^{\prime }=a_T^{\prime }{f}^{\prime }$, 这个 $f^{\prime }$ 即为定理所求.

$\square$

3应用

例 3.1. 在文献 [Ribet 1976] 中, K.Ribet 解决了 Herbrand 定理的另一方向, 这是正则素数的 Kummer 判别法的一种加细, 后来人们把这个定理称为 Herbrand–Ribet 定理.

他把问题转化为构造出一个合适的 $\mathrm{mod}\mathfrak{p}$ Galois 表示. 通过 Eisenstein 级数的同余关系, 可以构造一个 “只在同余意义下成立的 Hecke 特征形式”, 它 “满足” 所需的 Galois 表示的同余性质. 然后利用 Deligne-Serre 提升引理, 他得以将其提升为真正的 Hecke 特征形式, 从而使用当时 Deligne–Serre–Shimura 等人利用模形式构造 Galois 表示的结果, 获得了一个真正的 Galois 表示.

这种方式在后来 [Mazur–Wiles 1984] 证明 $\mathbb{Q}$ 上的 Iwasawa 主猜想的工作中得到了深刻的推广.

例 3.2. Langlands–Tunnell 定理断言若 $\rho :\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to {\mathrm{GL}}_2(\mathbb{C})$ 是一个连续不可约奇表示, 且 $\rho$ 的像是可解群, 则存在一个权为 $1$ 的新形式 $f$, 使得 $L(s,f)$ 和 $L(s,\rho )$ 的 Euler 因子除了有限个素数之外都相同.

设 $E$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的一条半稳定椭圆曲线, 且其 $\mathrm{mod}3$ Galois 表示 ${\overline{\rho }}_{E,3}$ 绝对不可约. 著名的 [Wiles 1995] 使用 Langlands-Tunnell 定理说明 ${\overline{\rho }}_{E,3}$ 具有来自权为 $1$ 的新形式的模性, 而后利用 Deligne-Serre 提升引理将其提升为权为 $2$ 的新形式, 从而进入了模性提升定理的起手步骤.

这个例子中的推导是相对初等的, 仍是 Eisenstein 级数的同余性质的应用. 感兴趣的读者可以参阅 [Wiles 1995] 第五章的开头部分.

4参考文献

•	Pierre Deligne, Jean-Pierre Serre (1974). “Formes modulaires de poids 1”. Annales scientifiques de l’École normale supérieure 7, 507–530. (web)

•	Kenneth Ribet (1976). “A modular construction of unramified $p$-extension of $\mathbb{Q}({\mu }_p)$”. Inventiones Mathematicae 34, 151–162. (doi)

•	Barry Mazur, Andrew Wiles (1984). “Class fields of abelian extensions of $\mathbb{Q}$”. Inventiones mathematicae 76, 179–330. (doi)

•	Andrew Wiles (1995). “Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem”. Annals of Mathematics 141 (3), 443–551. (pdf)