Hilbert–Samuel 多项式

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

Hilbert–Samuel 多项式是 Noether 环上有限生成模的一个数值不变量, 可以反映模的维数、重数等信息.

1定义

定义 1.1. $A$ 是 Noether 环, $I$ 是其理想, 满足 $A/I$ 有限长. 对有限生成 $A$-模 $M$, 定义其关于 $I$ 的 Hilbert–Samuel 函数为 $\mathbb{N}$ 到自身的函数$${\chi }_M^I(n)={\ell }_A(M/I^{n}M),$$其中 $\ell$ 表示长度. 由条件易知 $M/I^{n}M$ 为有限长, 故它良定义. 下面将会看到, 当 $n$ 充分大时, ${\chi }_M^I$ 是关于 $n$ 的多项式, 称其为 Hilbert–Samuel 多项式. 当 $A$ 为局部环, $I$ 为其极大理想时, 常于语言和记号中省略 $I$.

定义 1.2 (重数). $A$ 是 Noether 局部环, $M$ 为有限生成 $A$-模. 设 $d$ 为 $M$ 的 Hilbert–Samuel 多项式的次数. 则 $M$ 的重数定义为其最高次项系数的 $d!$ 倍.

2性质

命题 2.1 (与 Hilbert 多项式的关系). 记号同定义 1.1. 考虑分次环 $S={⨁}_{n=0}^{\infty }{I}^n/I^{n+1}$, 则 $S_0=A/I$ 为有限长, 故为 Artin 环; $S_1=I/I^2$ 显然是 $S_0$ 上有限生成模, 因 $I$ 的生成元就是它的生成元; $S_{+}$ 亦显然被 $S_1$ 生成. 考虑分次 $S$-模 $N={⨁}_{n=0}^{\infty }{I}^{n}M/I^{n+1}M$, 则它在 $S$ 上有限生成, 因 $M$ 的生成元就是它的生成元. 于是可以定义 $N$ 的 Hilbert 函数 ${\phi }_N(n)$. 则 Hilbert–Samuel 函数满足$${\chi }_M^I(n)=\sum _{i=0}^{n-1}{\phi }_N(i).$$

证明. 这是因为$${\ell }_A(M/I^{n}M)=\sum _{i=0}^{n-1}{\ell }_{A/I}(I^{i}M/I^{i+1}M).$$

$\square$

推论 2.2. 当 $n$ 充分大时, ${\chi }_M^I$ 是关于 $n$ 的多项式, 次数不超过 $I$ 的生成元个数, 首项为正.

证明. 设 $I$ 的生成元个数为 $d$. 则由 Hilbert 多项式的性质, ${\phi }_N(n)$ 当 $n$ 充分大时是关于 $n$ 的至多 $d-1$ 次多项式. 所以 ${\chi }_M^I(n)={\sum }_{i=0}^{n-1}{\phi }_N(i)$ 对应地就是关于 $n$ 的至多 $d$ 次多项式. 首项为正是因为 ${\chi }_M^I$ 总取非负数值.

$\square$

下面的命题分别描述了理想和模变化时 Hilbert–Samuel 多项式的性质. 记号同定义 1.1.

命题 2.3.

•	如 $J\supseteq I$, 则 ${\chi }_M^J\le {\chi }_M^I$.
•	对 $c\in \mathbb{N}$, ${\chi }_M^{I^c}(n)={\chi }_M^I(cn)$.
•	如 $\sqrt{J}\supseteq I$, 则 $\mathrm{deg}{\chi }_M^J\le \mathrm{deg}{\chi }_M^I$.

证明. 前两条是显然的. 最后一条是因为环 $A$ Noether, 这些理想都有限生成, 从而只要 $\sqrt{J}\supseteq I$, 就有 $c\in {\mathbb{Z}}_{+}$ 满足 $J\supseteq I^c$, 于是 $\mathrm{deg}{\chi }_M^J\le \mathrm{deg}{\chi }_M^{I^c}=\mathrm{deg}{\chi }_M^I$.

$\square$

命题 2.4.

•	对 $c\in \mathbb{N}$, ${\chi }_{I^{c}M}^I(n)={\chi }_M^I(n+c)-{\ell }_A(M/I^{c}M)$.
•	如 $I^{c}M\subseteq M^{\prime }\subseteq M$, 则 ${\chi }_M^I(n)-{\ell }_A(M/M^{\prime })\le {\chi }_{M^{\prime }}^I(n)\le {\chi }_M^I(n+c)-{\ell }_A(M/M^{\prime })$.
•	$$0\to M^{\prime }\to M\to M^{\prime \prime }\to 0$$是 $A$-模短正合列. 则存在 $c\in \mathbb{N}$, 使得对 $n\ge c$, $${\chi }_{M^{\prime }}^I(n-c)+{\chi }_{M^{\prime \prime }}^I(n)\le {\chi }_M^I(n)\le {\chi }_{M^{\prime }}^I(n)+{\chi }_{M^{\prime \prime }}^I(n).$$特别地, $\mathrm{deg}{\chi }_M^I=\max \{\mathrm{deg}{\chi }_{M^{\prime }}^I,\mathrm{deg}{\chi }_{M^{\prime \prime }}^I\}$.

证明. 前两条仍是显然的, 下证最后一条. 注意对任意 $n\in \mathbb{N}$, $$0\to \frac{M^{\prime }}{I^{n}M\cap M^{\prime }}\to M/I^{n}M\to M^{\prime \prime }/I^n{M}^{\prime \prime }\to 0$$是短正合列. 用 Artin–Rees 引理取出 $c\in \mathbb{N}$, 使得对 $n\ge c$ 有 $I^{n}M\cap M^{\prime }=I^{n-c}(I^{c}M\cap M^{\prime })$. 于是由$$I^n{M}^{\prime }\subseteq I^{n-c}(I^{c}M\cap M^{\prime })\subseteq I^{n-c}{M}^{\prime }$$即得欲证.

$\square$

3相关概念

术语翻译

Hilbert–Samuel 多项式 • 英文 Hilbert–Samuel polynomial

Hilbert–Samuel 函数 • 英文 Hilbert–Samuel function