弱充实 (∞,1)-范畴

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

弱充实 $(\infty ,1)$-范畴是模在 $(\infty ,1)$-范畴论中的推广: 它之于模如同幺半 $(\infty ,1)$-范畴之于环, 虽然它是一种比较松的模. 同时它也是充实 $(\infty ,1)$-范畴的推广: 它之于充实 $(\infty ,1)$-范畴如同幺半范畴之于闭幺半范畴.

1定义

建议读者在阅读本定义之前先熟悉幺半 $(\infty ,1)$-范畴条目.

定义 1.1 (结合代数模式). 考虑代数模式 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 定义如下:

•	底范畴为 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$, 即单形范畴之反;
•	惰性映射为区间含入映射之反;
•	活性映射为保持最大元、最小元的映射之反;
•	初等对象只有 $[1]=\{0,1\}$;

称为结合代数模式, 因为其 Segal 对象就是结合代数. 幺半 $(\infty ,1)$-范畴即此代数模式的 Segal 纤维化.

定义 1.2 (左模模式). 考虑代数模式 $\mathsf{LM}$ 定义如下:

•	底范畴为单形范畴俯范畴之反 $({\mathbb{\Delta }}_{/[1]}{)}^{\mathrm{op}}$ 的满子范畴, 由 $0$ 的原像非空且 $1$ 的原像至多一个元素的那些映射 $[n]\to [1]$ 生成;
•	代数模式结构沿遗忘函子 $([n]\to [1])\mapsto [n]$ 从 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 中继承得来;

称为左模模式, 因为其 Segal 对象就是结合代数及其左模.

$\mathsf{LM}$ 里有两个初等对象: $[1]\to \{0\}\subset \{0,1\}=[1]$ 与 ${\mathrm{id}}_{[1]}$, 分别记作 $\mathfrak{a}$ 与 $\mathfrak{m}$. 称 $\mathfrak{m}$ 为底对象, 因为把 $\mathsf{LM}$ 的 Segal 对象在 $\mathfrak{m}$ 上取值就是取左模的底对象; 称函子$$[n]\mapsto ([n]\to \{0\}\subset \{0,1\}=[1]):{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{LM}$$为底代数, 因为把 Segal 对象沿该函子限制就是取出作用于底对象上的那个结合代数.

定义 1.3 (弱充实 $(\infty ,1)$-范畴). 设 ${\mathcal{V}}^{\otimes }\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 是幺半 $(\infty ,1)$-范畴. 弱 $\mathcal{V}$-充实范畴指纤维模式 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to \mathsf{LM}$ 及其底代数 (即沿上述函子 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{LM}$ 的限制) 与 $\mathcal{V}$ 的等同. 注意此定义中 ${\mathcal{V}}^{\otimes }\to {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 无需是幺半范畴, 而只需是 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 上的纤维模式, 即只需是平面算畴.

弱充实范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to \mathsf{LM}$ 的底对象 (即它在 $\mathfrak{m}\in \mathsf{LM}$ 上的纤维) 称为其底范畴, 记作 $\mathcal{C}$. 没有歧义时, 常以 ${\mathcal{C}}^{\otimes }$ 甚至 $\mathcal{C}$ 代表弱充实范畴 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to \mathsf{LM}$.

当 $\mathcal{C}$ 是弱 $\mathcal{V}$-充实范畴时, 也称 $\mathcal{V}$ 弱作用于 $\mathcal{C}$ 上.

定义 1.4 (多重态射). 设 $\mathcal{V}$ 是平面算畴, $\mathcal{C}$ 是弱 $\mathcal{V}$-充实范畴, $n\in \mathbb{N}$. 考虑映射 $[n+1]\to [1]$, 把 $0,1,\dots ,n$ 打到 $0$, 把 $n+1$ 打到 $1$, 则它是 $\mathsf{LM}$ 里的对象, 记作 ${\mathfrak{m}}_n$. 在 $\mathsf{LM}$ 里, ${\mathfrak{m}}_n$ 到 $\mathfrak{a}$ 有 $n$ 个惰性映射, 分别对应含入映射 $\{i-1,i\}\subset [n+1]$, 其中 $i=1,\dots ,n$, 而 ${\mathfrak{m}}_n$ 到 $\mathfrak{m}$ 只有一个映射, 对应含入映射 $\{n,n+1\}\subset [n+1]$; 这些映射之间没有映射. 于是由于 ${\mathcal{C}}^{\otimes }\to \mathsf{LM}$ 是纤维模式, ${\mathcal{C}}_{{\mathfrak{m}}_n}^{\otimes }=({\mathcal{C}}_{\mathfrak{a}}^{\otimes }{)}^n\times {\mathcal{C}}_{\mathfrak{m}}^{\otimes }={\mathcal{V}}^n\times \mathcal{C}$.

对 $V_1,\dots ,V_n\in \mathcal{V}$ 和 $X,Y\in \mathcal{C}$, 定义多重态射生象$${\mathrm{Mul}}_{\mathcal{C}}(V_1,\dots ,V_n,X;Y)={\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}((V_1,\dots ,V_n,X),Y){\times }_{{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{LM}}({\mathfrak{m}}_n,\mathfrak{m})}\{m_n\},$$其中 $(V_1,\dots ,V_n,X)$ 表示 ${\mathcal{C}}_{{\mathfrak{m}}_n}^{\otimes }={\mathcal{V}}^n\times \mathcal{C}$ 中相应的对象, $m_n:{\mathfrak{m}}_n\to \mathfrak{m}$ 是 $\mathsf{LM}$ 里对应于含入 $\{0,n+1\}\subset [n+1]$ 的映射.

当 $\mathcal{V}$ 是幺半范畴时, 我们有自然的映射$${\mathrm{Mul}}_{\mathcal{C}}(V_1\otimes \cdots \otimes V_n,X;Y)\to {\mathrm{Mul}}_{\mathcal{C}}(V_1,\dots ,V_n,X;Y);$$如它是同构, 则称 $\mathcal{C}$ 为伪 $\mathcal{V}$-充实范畴.

2例子

•	如 $\mathcal{V}$ 是幺半 $(\infty ,1)$-范畴, 则它典范地弱充实于自身. 此弱充实为充实, 当且仅当 $\mathcal{V}$ 为左闭幺半.

术语翻译

弱充实 $(\infty ,1)$-范畴 • 英文 weakly enriched $(\infty ,1)$-category

弱作用 • 英文 weak action