同调猜想

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

同调猜想是交换代数中一类猜想的统称. 顾名思义, 它们主要涉及交换环及其上模的各种同调不变量. 这些猜想中最早出现的是 Serre 重数猜想, 由 Jean-Pierre Serre 于 1958 年提出. 后来 Melvin Hochster 又提出了许多猜想, 并证明了其中一些的等特征情形. 21 世纪 10 年代, 随着完美胚环理论的出现, Yves André 等人证明了近乎全部的同调猜想, 只剩重数猜想本身仍为未解之谜.

1猜想陈述

以下按照命题所涉对象分别陈述这些猜想. 大体上为从强到弱的顺序.

重数

主条目: Serre 重数猜想

猜想 1.1 (Serre 重数猜想). $R$ 是正则局部环, $M,N$ 是有限生成 $R$-模, 满足 $M{\otimes }_{R}N$ 有限长. 定义它们的相交重数$$\chi (M,N)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1{)}^i{\ell }_R({\mathrm{Tor}}_i^R(M,N)),$$则 $\chi (M,N)\ge 0$, 大于 $0$ 当且仅当 $\dim M+\dim N=\dim R$.

现只剩命题$$\dim M+\dim N=\dim R⟹\chi (M,N)>0$$没有解决.

Cohen–Macaulay 模、代数

以下这些猜想都是 Hochster 提出的.

猜想 1.2 (小 Cohen–Macaulay 模). 完备 Noether 局部环都有极大 Cohen–Macaulay 模. 具体地说, 设 $R$ 是这么个环, 则存在有限生成 $R$-模 $M$, 使得 $R$ 的参数系都是 $M$-正则序列.

小 Cohen–Macaulay 模猜想很强, 能推出 Serre 重数猜想. Hochster 后来认为它是错的, 但也没有证否.

主条目: 大 Cohen–Macaulay 代数

定理 1.3 (弱函子性大 Cohen–Macaulay 代数). Noether 局部环都有大 Cohen–Macaulay 代数, 且可以有弱函子性. 具体地说, 对任意 Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m})$, 都有 $R$-代数 $C$, 满足 $\mathfrak{m}C⫋C$, 且 $R$ 的参数系都是 $C$-正则序列. 此外对任意 Noether 局部环的局部同态 $R\to R^{\prime }$, 都可对应选取它们的大 Cohen–Macaulay 代数 $C,C^{\prime }$, 使得存在 $R$-代数映射 $C\to C^{\prime }$.

该定理由 André 于 2018 年证明. 它也很强, 下面的定理除了导出直和定理 (1.7) 之外全是它的推论, 虽然其中有些较早得到证明.

注 1.4. Bhatt 于 2020 年证明, 如 $R$ 是剩余域特征 $p$ 的优秀整环, 则 $R$ 的绝对整闭包的 $p$-完备化就是大 Cohen–Macaulay 代数.

$\mathrm{Tor}$ 映射为零

定理 1.5 ($\mathrm{Tor}$ 映射为零). $R\to S\to T$ 是环同态, 满足 $R,T$ 是正则环, $R\to S$ 是有限单同态. 则对任意 $R$-模 $M$ 以及任意正整数 $i$, 自然映射 ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,S)\to {\mathrm{Tor}}_i^R(M,T)$ 为零.

直和项

主条目: 直和定理

定理 1.6 (直和定理). $R$ 是正则环, $R\to A$ 是有限单同态, 则 $R$-模同态 $R\to A$ 分裂, 即 $R$ 是 $A$ 的 $R$-模直和项.

该定理由 André 于 2015 年证明.

定理 1.7 (导出直和定理). $R$ 是正则环, $X\to \mathrm{Spec}R$ 是紧合态射. 则自然映射 $R\to R\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X)$ 在导出范畴 $\mathsf{D}(R)$ 中分裂.

该定理由 Bhatt 于 2016 年证明.

定理 1.8 (强直和定理). $(R,\mathfrak{m})$ 是正则局部环, $R\to A$ 是有限单同态. $x\in \mathfrak{m}\setminus {\mathfrak{m}}^2$, $\mathfrak{q}$ 是 $A$ 的素理想, 包含 $x$ 且高度 $1$. 则 $R$-模同态 $xR\to \mathfrak{q}$ 分裂.

定理 1.9 (直和项 Cohen–Macaulay). $R\to S$ 是环同态, 作为 $R$-模同态分裂. 设 $S$ 是正则环. 则 $R$ 是 Cohen–Macaulay 环.

相交猜想

定理 1.10 (相交定理). $R$ 是 Noether 局部环, $M,N$ 是其有限生成模. 如 $M{\otimes }_{R}N$ 为非零且有限长, 则 $\dim N\le \mathrm{pd}(M)$.

定理 1.11 (新相交定理). $R$ 是 Noether 局部环, $n$ 是自然数, $$0\to F_n\to \cdots \to F_1\to F_0\to 0$$是 $R$-极小复形. 如其各同调群都有限长, 则 $\dim R\le n$.

定理 1.12 (加强的新相交定理). $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, $n$ 是自然数, $$0\to F_n\to \cdots \to F_1\to F_0\to 0$$是 $R$-极小复形. 如其 $1$ 至 $n$ 阶同调群都有限长, 又存在 $0$ 阶同调群 $H_0$ 的元素 $x$, 不在 $\mathfrak{m}{H}_0$ 中, 且生成的子模有限长, 则 $\dim R\le n$.

Bass 问题

定理 1.13. $R$ 是 Noether 局部环. 如存在非零有限生成 $R$-模内射维数有限, 则 $R$ 是 Cohen–Macaulay 环.

Auslander 零因子猜想

定理 1.14. $R$ 是 Noether 局部环, $M$ 是其有限生成模, 投射维数有限. 如 $r\in R$ 是 $M$ 的非零因子, 那它就是 $R$ 的非零因子.

2蕴涵关系

本节证明上节各猜想之间的蕴涵关系, 主要是把其中大部分化归到定理 1.3.

引理 2.1. 设 $(R,\mathfrak{m},k)$ 是正则局部环, $M,N$ 是其 Cohen–Macaulay 模, 维数分别为 $m,n$, 满足 $M{\otimes }_{R}N$ 有限长, 且 $m+n=\dim R$. 则对任意正整数 $i$, ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,N)=0$.

证明. 首先条件推出各个 ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,N)$ 都有限长 (见主条目 Serre 重数猜想). 设 $d=\sup \{i\in \mathbb{N}\mid {\mathrm{Tor}}_i^R(M,N)\ne 0\}$, 要证 $d=0$.

考虑复形 $M{\otimes }_R^{L}N{\otimes }_R^{L}k$, 其中 $-{\otimes }^L-$ 表示导出张量积. 由正则局部环上有限长模的 $\mathrm{Tor}$-维数是环的维数, 可知 $M{\otimes }_R^{L}N{\otimes }_R^{L}k$ 最后一个非零同调群处于 $d+\dim R$ 阶. 另一方面, 由 Auslander–Buchsbaum 公式, $\mathrm{pd}(M)=\dim R-m$, $\mathrm{pd}(N)=\dim R-n$, 于是 $M{\otimes }_R^{L}k$, $N{\otimes }_R^{L}k$ 的最后一个非零同调群分别处于 $\dim R-m$, $\dim R-n$ 阶. 这样一来, $$M{\otimes }_R^{L}N{\otimes }_R^{L}k=(M{\otimes }_R^{L}k){\otimes }_k(N{\otimes }_R^{L}k)$$的最后一个非零同调群就处于 $(\dim R-m)+(\dim R-n)=\dim R$ 阶. 所以 $d=0$.

$\square$

定理 2.2. 猜想 1.2 推出猜想 1.1.

证明. 首先完备化不改变事情, 故可不妨设 $R$ 为完备. 用结合素理想的理论把猜想 1.1 中的模 $M,N$ 拆成 $R/\mathfrak{p}$ 这样的模的扩张, 可设 $M=R/\mathfrak{p}$, $N=R/\mathfrak{q}$, $\mathfrak{p},\mathfrak{q}$ 为素理想, $R/(\mathfrak{p}+\mathfrak{q})$ 为有限长. 记 $m=\dim R/\mathfrak{p}$, $n=\dim R/\mathfrak{q}$, 则 $m+n\le \dim R$. 由于 Serre 重数猜想的 $m+n<\dim R$ 情形已被证明, 下设 $m+n=\dim R$.

如猜想 1.2 成立, 则可分别取 $R/\mathfrak{p}$ 与 $R/\mathfrak{q}$ 的极大 Cohen–Macaulay 模, 记为 $M^{\prime },N^{\prime }$, 则 $\dim M^{\prime }=m$, $\dim N^{\prime }=n$. 而 $M^{\prime },N^{\prime }$ 又可拆成滤链, 各项分别形如 $R/{\mathfrak{p}}^{\prime }$ 与 $R/{\mathfrak{q}}^{\prime }$, ${\mathfrak{p}}^{\prime }\supseteq \mathfrak{p}$, ${\mathfrak{q}}^{\prime }\supseteq \mathfrak{q}$. 设 $M^{\prime }$ 的滤链中有 $p$ 项的 $R/\mathfrak{p}$, $N^{\prime }$ 的滤链中有 $q$ 项的 $R/\mathfrak{q}$. 由于 ${\mathfrak{p}}^{\prime }⫌\mathfrak{p}$ 与 ${\mathfrak{q}}^{\prime }⫌\mathfrak{q}$ 的那些项没有贡献, 故$$\chi (M^{\prime },N^{\prime })=pq\chi (R/\mathfrak{p},R/\mathfrak{q}).$$于是只需证 $\chi (M^{\prime },N^{\prime })>0$. 这是引理 2.1 的直接推论.

$\square$

定理 2.3. 定理 1.3 推出定理 1.5.

证明. 由于 $\mathrm{Tor}$ 函子与滤余极限、局部化都交换, 可设 $M$ 有限生成, $R$ 为局部环. 作忠实平坦基变换, 可设 $R$ 完备. 这样由 $S$ 在 $R$ 上有限便知 $S$ 是一些局部环的乘积, 故也可设 $S$ 局部. 最后如对 $T$ 的极大理想 $\mathfrak{n}$ 证明了映射 ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,S)\to {\mathrm{Tor}}_i^R(M,T_{\mathfrak{n}})$ 为零, 再用 $\mathrm{Tor}$ 函子与滤余极限交换以及 $M,S$ 都是有限生成 $R$-模, 可知存在 $t\in T$, $t\notin \mathfrak{n}$ 使得映射 ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,S)\to {\mathrm{Tor}}_i^R(M,T_t)$ 为零. 这样如对 $T$ 的每个素理想处局部化证明了命题, 命题就对 $T$ 的一个 Zariski 开覆盖成立, 然后由忠实平坦下降便知命题对 $T$ 也成立. 于是还可设 $T$ 局部.

现取 $S,T$ 的弱函子性大 Cohen–Macaulay 代数 $B,C$ 如下: $$RSTBC$$则由 $R\to S$ 有限, $B$ 也是 $R$ 的大 Cohen–Macaulay 代数. 故由奇迹平坦, 映射 $R\to B$, $T\to C$ 为忠实平坦. 于是有 $\mathrm{Tor}$ 函子的交换图$${\mathrm{Tor}}_i^R(M,S){\mathrm{Tor}}_i^R(M,T){\mathrm{Tor}}_i^R(M,B){\mathrm{Tor}}_i^R(M,C)$$由 $R\to B$ 平坦, ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,B)=0$; 由 $T\to C$ 忠实平坦, ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,T)\to {\mathrm{Tor}}_i^R(M,C)$ 为单射. 故映射 ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,S)\to {\mathrm{Tor}}_i^R(M,T)$ 为零.

$\square$

定理 2.4. 定理 1.5 推出定理 1.9.

证明. 用定理 1.9 中的记号. 由 CM 环定义是局部的, 可设 $R$ 是局部环. 由忠实平坦下降, 可设 $R$ 完备. 现由 Noether 正规化可取有限单射 $R_0\to R$, 其中 $R_0$ 是完备正则局部环. 于是对任意 $R_0$-模 $M$ 及正整数 $i$, 定理 1.5 说映射 ${\mathrm{Tor}}_i(M,R)\to {\mathrm{Tor}}_i(M,S)$ 为零. 而 $R\to S$ 是分裂单射, 于是这说明 ${\mathrm{Tor}}_i(M,R)=0$. 这样 $R$ 就是平坦 $R_0$-模, 由奇迹平坦 $R$ 为 CM 环.

$\square$

3相关概念

•	Cohen–Macaulay 模
•	Serre 重数猜想
•	大 Cohen–Macaulay 代数
•	直和定理
•	符号幂

术语翻译

同调猜想 • 英文 homological conjectures • 德文 homologische Vermutungen • 法文 conjectures homologiques