商空间

本文介绍的是拓扑空间的商空间. 关于向量空间的商空间, 请参见 “商向量空间”.

在拓扑学中, 拓扑空间的商空间是其商集, 带有自然的拓扑空间结构.

1定义

定义 1.1 (商空间). 设 $X$ 为拓扑空间, $\sim$ 为 $X$ 上等价关系. 考虑商集 $X / \sim$ , 并记 $p : X \to X / \sim$ 为投影映射. 在 $X / \sim$ 上定义如下拓扑, 称为商拓扑:

•	子集 $U \subset X / \sim$ 为开集, 当且仅当 $p^{- 1} (U)$ 是 $X$ 中开集.

这使得 $X / \sim$ 成为拓扑空间, 称为 $X$ 的商空间. 映射 $p$ 称为商映射.

这里, 商拓扑也可以描述为使映射 $p$ 连续的最细 (即开集最多) 的拓扑.

以下一类商空间尤其常用.

定义 1.2 (关于子空间的商). 设 $X$ 是拓扑空间, $A \subset X$ 是子空间. 定义 $X$ 上等价关系 $\sim_{A}$ 如下:

•	对 $x, y \in X$ , 有 $x \sim_{A} y$ 当且仅当 $x = y$ 或 $x, y \in A$ .

则商空间 $X / \sim_{A}$ 通常记为 $X / A$ , 称为 $X$ 关于 $A$ 的商空间.

直观地看, $X / A$ 就是在 $X$ 中将 $A$ 缩成一个点, 而得到的空间.

•	对 $n \geq 1$ , 考虑 $n$ 维圆盘 $D^{n}$ 及其边界 $\partial D^{n} ≃ S^{n - 1}$ . 则商空间 $D^{n} / \partial D^{n}$ 同胚于球面 $S^{n}$ .

•	粘连空间. 设 $X, Y$ 是拓扑空间, $U \subset X$ 及 $V \subset Y$ 为子空间, 并有同胚 $φ : U ≃ V$ . 则可以将 $X, Y$ 沿着 $U, V$ 粘起来, 得到空间 $(X ⊔ Y) / \sim$ , 这里 $\sim$ 由以下关系生成: 对 $u \in U$ , 有 $u \sim φ (u)$ .

以下是商映射的等价刻画.

命题 3.1. 设 $X, Y$ 为拓扑空间, $p : X \to Y$ 为连续映射. 则下列二者等价:

•	存在 $X$ 上等价关系 $\sim$ , 及同胚 $Y ≃ X / \sim$ , 使得 $p$ 就是对应的商映射.

•	$p$ 是满射, 且对任意子集 $U \subset Y$ , $U$ 是 $Y$ 中开集当且仅当 $p^{- 1} (U)$ 是 $X$ 中开集.

有时也直接将满足上述条件的映射 $p$ 称为商映射, 而不提及等价关系.

术语翻译

商空间 • 英文 quotient space • 德文 Quotientenraum (m) • 法文 espace quotient (m)

商拓扑 • 英文 quotient topology • 德文 Quotiententopologie (f) • 法文 topologie quotient (f)

商映射 • 英文 quotient map • 德文 Quotientenabbildung (f) • 法文 application quotient (f)