挠复形

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• $\mathsf{D}(A)$ 表示环 $A$ 的模范畴的导出范畴, 在现代观点下即 $A$ 视为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环在谱范畴中的模范畴.

交换代数中, 挠复形是挠模在导出范畴的推广.

1定义

定义 1.1 (挠复形). $A$ 是环, $a$ 是其元素, $I$ 是其理想, $M\in \mathsf{D}(A)$.

•	称 $M$ 为 ${\mathbf{a}}^{\infty }$-挠, 指的是$$M{\otimes }_{A}A[1/a]=0.$$
•	称 $M$ 为 ${\mathbf{I}}^{\infty }$-挠, 指对每个 $i\in I$, $M$ 都为 $i^{\infty }$-挠.

$\mathsf{D}(A)$ 中所有 $I^{\infty }$-挠的复形组成的满子范畴记作 ${\mathsf{D}}_{I^{\infty }\text{-tors}}(A)$. 它显然是三角范畴 (或稳定 $\infty$-范畴, 如把 $\mathsf{D}(A)$ 视为稳定 $\infty$-范畴).

注 1.2. 熟悉导出 $\infty$-范畴的读者也可将 $a^{\infty }$-挠定义为$$\mathrm{colim}(M\stackrel{a}{\to }M\stackrel{a}{\to }\cdots )=0.$$导出 $1$-范畴中没有这种余极限, 所以定义 1.1 用 $-{\otimes }_{A}A[1/a]$ 表达.

定义 1.3 (局部上同调). 下面将会看到, 含入函子 ${\mathsf{D}}_{I^{\infty }\text{-tors}}(A)\to \mathsf{D}(A)$ 有右伴随. 该右伴随称为挠化或局部上同调, 记作 ${\Gamma }_I(-)$ 或 ${\mathrm{R\Gamma }}_I(-)$.

2相关概念

•	局部上同调
•	导出完备
•	挠–完备等价

术语翻译

挠复形 • 英文 torsion complex