Hilbert 基定理

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

Hilbert 基定理是交换代数中的基本定理, 说的是 Noether 环上的多项式环也是 Noether 的.

1定理与证明

定理 1.1. 如 $R$ 是 Noether 环, 则其上一元多项式环 $R[X]$ 也是 Noether 环.

证明. 设 $I$ 是 $R[X]$ 的理想, 要证 $I$ 有限生成. 为此, 考虑 $I$ 中各元素的首项系数构成的理想 $J\subseteq R$, 即$$J=\{r\in R\mid \exists f\in I,f=r{X}^n+a_1{X}^{n-1}+\cdots +a_n\}.$$不难发现 $J$ 的确是 $R$ 的理想. 由条件, $J$ 有限生成, 设 $J=(r_1,\dots ,r_m)$, 并取 $f_1,\dots ,f_m\in I$, 首项系数分别为 $r_1,\dots ,r_m$. 设它们的次数分别为 $n_1,\dots ,n_m$, 并取 $N=\max \{n_1,\dots ,n_m\}$. 令 $R[X{]}_{<N}$ 为 $R[X]$ 中次数小于 $N$ 的多项式构成的 $R$-模, 则其为有限生成模, 由 $1,X,\dots ,X^{N-1}$ 生成. 令 $I_{<N}=I\cap R[X{]}_{<N}$ 为 $I$ 中次数小于 $N$ 的多项式构成的 $R$-模, 则其为 $R[X{]}_{<N}$ 的 $R$-子模. 由 $R$ Noether, $I_{<N}$ 也有限生成, 设其生成元为 $g_1,\dots ,g_c$. 下证 $I=(f_1,\dots ,f_m,g_1,\dots ,g_c)$.

需对任一 $f\in I$ 证明 $f$ 被 $f_1,\dots ,f_m,g_1,\dots ,g_c$ 生成. 我们对 $f$ 的次数 $n$ 归纳. 如 $n<N$, 则 $f\in I_{<N}$, 它被 $g_1,\dots ,g_c$ 生成. 如 $n\ge N$, 设其首项系数为 $r$, 则 $r\in J$, 故可写 $r={\sum }_{i=1}^m{s}_i{r}_i$, $s_i\in R$. 于是$$\mathrm{deg}\left(f-\sum _{i=1}^m{s}_i{X}^{n-n_i}{f}_i\right)<n,$$故由归纳假设, $f$ 被 $f_1,\dots ,f_m,g_1,\dots ,g_c$ 生成.

$\square$

推论 1.2. 如 $R$ 是 Noether 环, 则其上 $d$ 元多项式环 $R[X_1,\dots ,X_d]$ 也是 Noether 环.

证明. 由于 $R[X_1,\dots ,X_d]=R[X_1]\cdots [X_d]$, 将定理用 $d$ 次即得结论.

$\square$

2应用

•	在代数几何中, Hilbert 基定理说明了每一个仿射簇都是有限个超曲面相交.
•	利用完备化的理论可以推出: 如果 $R$ 是 Noether 环, 那么形式幂级数环 $R[[X]]$ 也是 Noether 环.

3相关概念

•	Noether 正规化
•	Chevalley 可构造性定理

术语翻译

Hilbert 基定理 • 英文 Hilbert’s basis theorem • 德文 hilbertscher Basissatz • 法文 théorème de la base de Hilbert