局部 Euclid 空间

在拓扑学中, 局部 Euclid 空间是一类拓扑空间, 是指在每一点附近都看起来像 Euclid 空间的空间. 局部 Euclid 空间几乎是流形的同义词, 但后者排开了某些病态的例子. 例如, 双原点直线是局部 Euclid 空间, 但通常不算作流形.

1定义

定义 1.1 (局部 Euclid 空间). 拓扑空间 $X$ 称为局部 Euclid 空间, 如果满足下列等价条件之一:

•	每个点 $x\in X$ 都有开邻域 $U\subset X$, 使得 $U$ 同胚于某个 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中的某个开集 $V\subset {\mathbb{R}}^n$.

•	每个点 $x\in X$ 都有开邻域 $U\subset X$, 使得 $U$ 同胚于某个 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$.

2例子

•	所有流形都是局部 Euclid 空间.

•	双原点直线是局部 Euclid 空间, 但不是 Hausdorff 空间, 从而不是流形.

•	长直线是局部 Euclid 空间, 但不是 第二可数空间, 从而也不是流形.

3性质

基本性质

•	局部 Euclid 空间是局部道路连通的, 因为 ${\mathbb{R}}^n$ 是道路连通空间.

4相关概念

术语翻译

局部 Euclid 空间 • 英文 locally euclidean space