挠–完备等价

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.
• $\mathsf{D}(A)$ 表示环 $A$ 的模范畴的导出范畴, 在现代观点下即 $A$ 视为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环在谱范畴中的模范畴.

挠–完备等价是现代交换代数中的重要定理, 可视为 Grothendieck 局部对偶的简化与推广. 它对一般环 $A$ 及其有限生成理想 $I$ 给出 $I^{\infty }$-挠复形与导出 $I$-完备复形之间的范畴等价. 挠–完备等价是纯导出的现象, 在经典模范畴中不出现.

1陈述

固定环 $A$ 及其有限生成理想 $I$. 承挠复形、导出完备两条目, 分别用 ${\mathsf{D}}_{I^{\infty }\text{-tors}}(A)$、${\mathsf{D}}_{I\text{-comp}}(A)$ 表示 $I^{\infty }$-挠、$I$-完备的 $A$-复形.

定理 1.1 (挠–完备等价). 把导出完备化、挠化分别限制在挠复形、完备复形的范畴上, 所得函子$$(-{)}_I^{\wedge }:{\mathsf{D}}_{I^{\infty }\text{-tors}}(A)\rightleftarrows {\mathsf{D}}_{I\text{-comp}}(A):{\Gamma }_I(-)$$是一对范畴等价.

2证明

3注记

术语翻译

挠–完备等价 • 英文 torsion–complete equivalence