挠模

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

挠模, 又名扭模, 指的是被特定元素零化的模, 与无挠模相对.

1定义

定义 1.1 (整环上的挠模). 设 $A$ 是整环, $M$ 是 $A$-模. 称 $m\in M$ 为挠元, 指的是存在非零元 $a\in A$ 使得 $am=0$. 称 $M$ 为挠模, 指其每个元素都是挠元. $M$ 的所有挠元显然构成子模, 记作 $M_{\text{tor}}$, 它是挠模.

定义 1.2 (关于元素、理想的挠模). $A$ 是一般的环, $a$ 是其元素, $I$ 是其理想, $M$ 是 $A$-模.

•

∘ 称 $m\in M$ 为 $\mathbf{a}$-挠元, 指的是 $am=0$. 称 $M$ 为 $\mathbf{a}$-挠模, 指的是 $aM=0$. $M$ 的 $a$-挠元显然构成子模, 记作 $M[a]$, 它是 $a$-挠模. ∘ 称 $m\in M$ 为 $\mathbf{I}$-挠元, 指的是 $Im=0$. 称 $M$ 为 $\mathbf{I}$-挠模, 指的是 $IM=0$. $M$ 的 $I$-挠元显然构成子模, 记作 $M[I]$, 它是 $I$-挠模.

•

∘ 称 $m\in M$ 为 ${\mathbf{a}}^{\infty }$-挠元, 指的是存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $a^{n}m=0$. 称 $M$ 为 ${\mathbf{a}}^{\infty }$-挠模, 指其每个元素都是 $a^{\infty }$-挠元. $M$ 的 $a^{\infty }$-挠元显然构成子模, 记作 $M[a^{\infty }]$, 它是 $a^{\infty }$-挠模. ∘ 称 $m\in M$ 为 ${\mathbf{I}}^{\infty }$-挠元, 指对每个 $i\in I$, $m$ 都是 $i^{\infty }$-挠元. 称 $M$ 为 ${\mathbf{I}}^{\infty }$-挠模, 指其每个元素都是 $I^{\infty }$-挠元. $M$ 的 $I^{\infty }$-挠元显然构成子模, 记作 $M[I^{\infty }]$, 它是 $I^{\infty }$-挠模.

注 1.3. 显然 $M_{\text{tor}}$、$M[a]$、$M[I]$、$M[a^{\infty }]$、$M[I^{\infty }]$ 都是相应的挠模范畴到模范畴含入函子的右伴随.

注 1.4. 有些地方的 $I^{\infty }$-挠元定义为存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $I^{n}m=0$, 这在 $I$ 不有限生成时和这里不同. 这里定义的好处是和 “支在 $V(I)$ 上” 完全吻合.

2例子

•	对 $n\in \mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/n$ 是挠模, 是 $n$-挠模.
•	$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 是挠模, 但不是 $n$-挠模, 也不是 $n^{\infty }$-挠模, 对任意非零整数 $n$.
•	${\mathbb{Q}}_p/{\mathbb{Z}}_p$ 是挠模, 是 $p^{\infty }$-挠模, 但不是 $p^n$-挠模, 对任一 $n$.
•	局部环 $(A,\mathfrak{m})$ 上有限长模 $M$ 都是 ${\mathfrak{m}}^{\infty }$-挠模. 事实上由 Nakayama 引理易知如 $\ell$ 是 $M$ 的长度, 则 ${\mathfrak{m}}^{\ell }M=0$.
•	任取域 $k$, 考虑环$$A=k[[x^{1/\infty }]]=\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{r_n}|a_n\in k,r_n\in {\mathbb{Q}}_{\ge 0},r_n\to \infty \right\},$$理想 $I=(x^{1/\infty })=(x^{1/n}{)}_{n=1}^{\infty }=\{f(x)\in A\mid f(0)=0\}$, 模 $M=A/x$. 容易发现 $M$ 为 $I^{\infty }$-挠模, 而对任意 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$ 有 $I^n=I$, $I^{n}M\ne 0$.

3性质

命题 3.1. $a$-、$I$-挠模的子模、商模、极限、余极限仍是挠模. 这些挠模范畴都是模范畴的 Abel 子范畴, 且含入函子保持极限、余极限. 它们还是 Grothendieck Abel 范畴.

命题 3.2. 挠模的子模、商模、扩张、余极限仍是挠模. 这对 $a^{\infty }$-、$I^{\infty }$-挠模亦成立. 这些挠模范畴都是模范畴的 Serre 子范畴, 且含入函子保持余极限. 它们也是 Grothendieck Abel 范畴.

以下定理说明 $I^{\infty }$-挠元就是支在闭集 $V(I)$ 的截面, 用拟凝聚层的语言即 $M[I^{\infty }]={\Gamma }_{V(I)}(\mathrm{Spec}A,\tilde{M})$.

定理 3.3. 设 $A$ 是环, $I$ 是其理想, $M$ 是 $A$-模, $m\in M$. 则

•	$m$ 为 $I^{\infty }$-挠当且仅当其支集在 $V(I)$ 中.
•	$M$ 为 $I^{\infty }$-挠当且仅当其支集在 $V(I)$ 中.

命题 3.4. 设 $A$ 是环, $M$ 是 $A$-模. 则集合$$\{a\in A\mid \text{M 为 a∞-挠模}\}$$是根理想, 且是使 $M$ 为 $I^{\infty }$-挠模的最大理想 $I$.

命题 3.5. 设 $A$ 是环, $I=(i_1,\dots ,i_r)$ 是其有限生成理想, $M$ 是 $A$-模, $m\in M$. 则以下几条等价:

1.	$m$ 为 $I^{\infty }$-挠元.
2.	对 $1\le k\le r$, $M$ 为 $i_k^{\infty }$-挠元.
3.	存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $I^{n}m=0$.

4相关概念

•	无挠模
•	零因子
•	挠复形
•	挠–完备等价
•	局部上同调

术语翻译

挠模 • 英文 torsion module • 德文 Torsionsmodul • 法文 module de torsion