完备模

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

完备模是交换代数中的常见概念, 指的是模中的元素可作特定的无穷和, 其收敛性良定义, 也相当于模关于特定的度量构成完备度量空间.

1定义

定义 1.1 (完备模). 设 $A$ 是环, $I$ 是其有限生成理想. 称 $A$-模 $M$ 关于 $I$ 完备, 或称 $M$ 为 $\mathbf{I}$-完备模, 指的是$$M=\underset{n\to \infty }{\lim }M/I^{n}M.$$

注 1.2. 这是滤链的完备性的特殊情形. $M$ 关于 $I$ 完备也就是说$$M\supseteq IM\supseteq I^{2}M\supseteq \cdots$$是完备滤链.

定义 1.3 (完备化). 记号同定义 1.1. $M$ 关于 $I$ 的完备化, 通常记作 $M_I^{\wedge }$ 或 $\hat{M}$, 指的是 $A$-模 ${\lim }_{n}M/I^{n}M$.

注 1.4. 定义 1.1 和 1.3 本身固然不需要理想 $I$ 有限生成; 但当 $I$ 无限生成时, 它的表现实在太差, 完备化所得的模都未必是完备的; 所以我们只讨论 $I$ 有限生成的情形.

2性质

命题 2.1 (与完备度量的关系). 记号同定义 1.1. 在 $M$ 上定义 $\mathbf{I}$ 进度量$$d(x,y)=\exp (-\min \{n\in \mathbb{N}\mid x-y\in I^n\}).$$则 $M$ 关于 $I$ 完备当且仅当 $M$ 在这个度量下是完备度量空间. 特别地, 对任一列 $(x_n\in I^{n}M{)}_{n\in \mathbb{N}}$, 存在唯一 $X=:{\sum }_{n=0}^{\infty }{x}_i$, 使得对任意 $m\in \mathbb{N}$, $X-{\sum }_{n=0}^m{x}_i\in I^{m+1}M$.

命题 2.2. 完备化是完备模构成的满子范畴的含入函子的左伴随.

命题 2.3. 完备化保持满射.

定理 2.4. 设 $A$ 是 Noether 环, $I$ 是其理想. 则 $I$-完备化限制在有限生成 $A$-模的满子范畴上是正合函子. 也就是说, 对有限生成 $A$-模的短正合列$$0\to N\to M\to Q\to 0$$其完备化$$0\to \hat{N}\to \hat{M}\to \hat{Q}\to 0$$仍然正合.

证明. 见条目 Artin–Rees 引理.

$\square$

3例子

•	$p$ 进数 ${\mathbb{Z}}_p$ 是 $p$-完备的 $\mathbb{Z}$-模, 是 $\mathbb{Z}$ 的 $p$-完备化.
•	对任意的环 $k$, 形式幂级数环 $k[[x]]$ 是 $x$-完备的 $k[x]$-模, 是 $k[x]$ 的 $x$-完备化.

例 3.1. 对无限生成的模, 完备化可以不正合, 甚至不右正合. 考虑短正合列$$0\to \underset{n=1}{\overset{\infty }{⨁}}\mathbb{Z}\to \underset{n=1}{\overset{\infty }{⨁}}\mathbb{Z}\to \underset{n=1}{\overset{\infty }{⨁}}\mathbb{Z}/p^n\to 0$$其中左边的映射在第 $n$ 个坐标上是乘以 $p^n$. 把它 $p$-完备化, 考虑中间的完备化里的元素 $(p^n{)}_{n=1}^{\infty }$. 它被右边的映射打到 $0$, 但它不来自左边, 因为左边的完备化里并没有元素 $(1,1,\dots )$.

对不 Noether 的环, 即便模有限生成甚至有限表现, 完备化也可以不正合, 甚至不右正合. 这个例子比较麻烦, 参见 [Stacks, 05JF].

这些病态表现主要是因为有高阶同伦信息出现, 而朴素完备化对此没有记录, 要用导出完备化把它记下来. 导出完备化对非常一般的环和模都有良好的表现.

例 3.2. 例 3.1 中映射$$\mathrm{diag}(p^n{)}_{n=1}^{\infty }:\underset{n=1}{\overset{\infty }{⨁}}\mathbb{Z}\to \underset{n=1}{\overset{\infty }{⨁}}\mathbb{Z}$$的 $p$-完备化还说明完备模之间同态的核和余核未必完备. 但它们导出完备.

4相关概念

•	滤链
•	Artin–Rees 引理
•	导出完备
•	分离模

参考文献

[Stacks]

叠计划.

术语翻译

完备模 • 英文 complete module