Euclid 向量空间

在线性代数中, Euclid 向量空间是指带有 Euclid 内积的 Descartes 空间. 换言之, 即形如$${\mathbb{R}}^n=\{(x_1,\dots ,x_n)\mid x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{R}\}$$的向量空间, 其中 $n$ 是自然数, 并且, 其中任两个向量可以作内积.

Euclid 向量空间与 Euclid 空间的区别在于, 前者是向量空间, 因此有原点, 但 Euclid 空间中, 所有点都具有相同的地位, 而没有原点.

1定义

定义 1.1 (Euclid 内积). ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Euclid 内积是如下定义的内积: 对 $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ 和 $y=(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{R}}^n$, 定义$$⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i.$$这个内积使得 ${\mathbb{R}}^n$ 成为内积空间, 称为 Euclid 向量空间.

定义 1.2 (Euclid 范数). ${\mathbb{R}}^n$ 上的 Euclid 范数是如下定义的范数: 对 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 定义$$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}.$$这个范数使得 ${\mathbb{R}}^n$ 成为赋范向量空间.

2相关概念

术语翻译

Euclid 向量空间 • 英文 Euclidean vector space • 德文 euklidischer Vektorraum (m) • 法文 espace vectoriel euclidien (m)