Lurie 张量积

关于其它含义, 请参见 “张量积 (多义词)”.

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

Lurie 张量积是可表现 $(\infty ,1)$-范畴的一种操作, 由 [Lurie 2017, §4.8.1] 构造. 给定可表现范畴 $\mathcal{C},\mathcal{D}$, 其 Lurie 张量积是可表现范畴 $\mathcal{C}\otimes \mathcal{D}$, 由它出发的函子等同于 $\mathcal{C}\times \mathcal{D}$ 出发的两边均保持余极限的二元函子.

1定义

令 $\widehat{\mathsf{Cat}}$ 为全体 $(\infty ,1)$-范畴所构成的 (非常大) 范畴. 令 ${\mathsf{Fun}}^{\mathrm{L}}(-,-)$ 和 ${\mathsf{Fun}}^{\mathrm{R}}(-,-)$ 分别表示函子范畴中保持余极限和极限的函子所张成的全子范畴.

定义 1.1. 令 $\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{E}$ 为可表现 $(\infty ,1)$-范畴, 记 ${\mathsf{Fun}}^{\mathrm{biL}}(\mathcal{C}\times \mathcal{D},\mathcal{E})\subseteq \mathsf{Fun}(\mathcal{C}\times \mathcal{D},\mathcal{E})$ 为由双边分别保持余极限的函子所张成的全子范畴.

定义 1.2. 令 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 为可表现 $(\infty ,1)$-范畴. 则其 Lurie 张量积是指可表现 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}\otimes \mathcal{D}$, 带有一个双边均保持余极限的函子$$\mathcal{C}\times \mathcal{D}⟶\mathcal{C}\otimes \mathcal{D},$$使得对任意可表现 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{E}$, 该函子都诱导 $(\infty ,1)$-范畴等价$${\mathsf{Fun}}^{\mathrm{L}}(\mathcal{C}\otimes \mathcal{D},\mathcal{E})\stackrel{\sim }{⟶}{\mathsf{Fun}}^{\mathrm{biL}}(\mathcal{C}\times \mathcal{D},\mathcal{E}).$$上述泛性质保证了若 Lurie 张量积存在, 则本质上唯一.

2性质

命题 2.1. 有范畴等价$${\mathsf{Fun}}^{\mathrm{L}}(\mathcal{C}\otimes \mathcal{D},\mathcal{E})\simeq {\mathsf{Fun}}^{\mathrm{biL}}(\mathcal{C}\times \mathcal{D},\mathcal{E})\simeq {\mathsf{Fun}}^{\mathrm{L}}(\mathcal{C},{\mathsf{Fun}}^{\mathrm{L}}(\mathcal{D},\mathcal{E})).$$由此知 ${\mathsf{Fun}}^{\mathrm{L}}$ 为该对称幺半结构的幂函子. 更进一步, 由于对于任意可表现范畴 $\mathcal{C}$, ${\mathsf{Fun}}^{\mathrm{L}}(\mathsf{Ani},\mathcal{C})\simeq \mathsf{Fun}(\ast ,\mathcal{C})\simeq \mathcal{C}$. 从而 $\mathsf{Ani}\in {\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}}$ 为 $({\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}})$ 的幺元.

命题 2.2. 有范畴等价$$\mathcal{C}\otimes \mathcal{D}\simeq {\mathsf{Fun}}^{\mathrm{R}}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathcal{D})$$

注 2.3. 上述范畴等价无论是对于 $\mathcal{C}$ 还是关于 $\mathcal{D}$ 都不能以直接的方式具有函子性. 比如考虑 $F:{\mathcal{C}}_1\to {\mathcal{C}}_2$, 则有交换图表$${\mathcal{C}}_2\otimes \mathcal{D}{\mathsf{Fun}}^{\mathrm{R}}({\mathcal{C}}_2^{\mathrm{op}},\mathcal{D}){\mathcal{C}}_1\otimes \mathcal{D}{\mathsf{Fun}}^{\mathrm{R}}({\mathcal{C}}_1^{\mathrm{op}},\mathcal{D})\sim (F\otimes 1_{\mathcal{D}}{)}^{\mathrm{R}}-\circ F^{\mathrm{op}}\sim$$此处 $(-{)}^R$ 是指取右伴随. 而考虑 $G:{\mathcal{D}}_1\to {\mathcal{D}}_2$, 则有交换图表$$\mathcal{C}\otimes {\mathcal{D}}_2{\mathsf{Fun}}^{\mathrm{R}}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},{\mathcal{D}}_2)\mathcal{C}\otimes {\mathcal{D}}_1{\mathsf{Fun}}^{\mathrm{R}}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},{\mathcal{D}}_1)\sim (1_{\mathcal{C}}\otimes G{)}^{\mathrm{R}}{G}^{\mathrm{R}}\circ -\sim$$

命题 2.4. 对于任意可表现范畴 $\mathcal{C}$, 都有 ${\mathsf{Ani}}_{\ast }\otimes \mathcal{C}\simeq {\mathcal{C}}_{\ast }$.

命题 2.5.

•	典范态射 $\mathsf{Ani}\to \mathsf{Sp}$ 诱导范畴等价 $\mathsf{Sp}\simeq \mathsf{Sp}\otimes \mathsf{Sp}$. 该等价说明 $\mathsf{Sp}$ 是 $({\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}}{)}^{\otimes }$ 中的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-代数;
•	可表现范畴 $\mathcal{C}$ 稳定当且仅当有典范的等价$$\mathcal{C}\to \mathsf{Sp}\otimes \mathcal{C}.$$更进一步, 这说明 $\mathcal{C}$ 为 $\mathsf{Sp}$ 在 $({\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}}{)}^{\otimes }$ 上的模.

3例子

例 3.1.

•	令 $\mathcal{C}=\mathsf{PSh}({\mathcal{C}}_0)$ 且 $\mathcal{D}=\mathsf{PSh}({\mathcal{D}}_0)$, 则 $\mathcal{C}\otimes \mathcal{D}\simeq \mathsf{PSh}({\mathcal{C}}_0\times {\mathcal{D}}_0)$.

•

令 $\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }$ 和 $\mathcal{D}\to {\mathcal{D}}^{\prime }$ 分别为 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 关于 $W_{\mathcal{C}}$ 和 $W_{\mathcal{D}}$ 的左 Bousfield 局部化, 则 ${\mathcal{C}}^{\prime }\otimes {\mathcal{D}}^{\prime }$ 是 $\mathcal{C}\otimes \mathcal{D}$ 关于 $W_{\mathcal{C}}\otimes {\mathcal{D}}^{\kappa }\cup {\mathcal{C}}^{\kappa }\otimes W_{\mathcal{D}}$ 的左 Bousfield 局部化.

以下两则例子揭示拓扑空间上的层与 Lurie 张量积之间的关系.

例 3.2. 对于拓扑空间 $X$, $Y$ 有意象等价 $\mathsf{Sh}(X)\otimes \mathsf{Sh}(Y)\simeq \mathsf{Sh}(X\times Y)$.

例 3.3. 对于拓扑空间 $X$ 以及可表现范畴 $\mathcal{C}$, 有意象等价 $\mathsf{Sh}(X)\otimes \mathcal{C}\simeq \mathsf{Sh}(X,\mathcal{C})$.

例 3.4. 令 $R$ 和 $S$ 为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环, 则有范畴等价 $R\text{-}\mathsf{Mod}\otimes S\text{-}\mathsf{Mod}\simeq (R{\otimes }_{\mathbb{S}}S)\text{-}\mathsf{Mod}$. 特别地, 对于一般的环 $R$ 和 $S$, 有 $\mathcal{D}(R)\otimes \mathcal{D}(S)\simeq (HR{\otimes }_{\mathbb{S}}HS)\text{-}\mathsf{Mod}$.

4参考文献

•	Jacob Lurie (2017). Higher Algebra. (pdf)

5相关概念