筛余极限

在范畴论中, 筛余极限是筛范畴 (定义 1.1) 上的余极限, 是滤余极限的推广.

正如滤余极限常与有限极限交换, 筛余极限常与有限积交换.

1定义

定义 1.1 (筛范畴). 筛范畴是指一个非空范畴 $\mathcal{C}$, 满足对任意对象 $x,y\in \mathcal{C}$, 拉回 ${\mathcal{C}}_{x/}{\times }_{\mathcal{C}}{\mathcal{C}}_{y/-}$ 是连通的.

2例子

•	滤范畴都是筛范畴, 因此滤余极限都是筛余极限.

•	反射余等化子是筛余极限.

•	筛余极限本质上仅包含以上两类.

3性质

命题 3.1. 设 $\mathcal{C}$ 是小范畴, 则 $\mathcal{C}$ 是筛范畴当且仅当对任意有限集 $\mathcal{D}$ (看成离散范畴) 和任意函子 $F:\mathcal{C}\times \mathcal{D}\to \mathsf{Set}$, 自然的比较映射$$\lambda :\underset{\mathcal{C}}{\mathrm{colim}}\prod _{\mathcal{D}}F\to \prod _{\mathcal{D}}\underset{\mathcal{C}}{\mathrm{colim}}F$$都是同构.

注 3.2. 如果将 $\mathsf{Set}$ 换成别的范畴, 则以上命题的两个方向都不一定对.

4相关概念

术语翻译

筛余极限 • 英文 sifted colimit