Boole 代数

Boole 代数是一种代数结构, 用来描述经典命题逻辑. 它的元素可以看作经典的命题, 这些命题可以进行运算, 并且满足排中律.

集合论中的代数是 Boole 代数的特例, 命题的与、或、非对应于某个固定集合的子集. 这也是集合论中的代数命名的原因.

1定义

显式定义

定义 1.1 (Boole 代数). Boole 代数是六元组 , 其中

集合.

是两个元素, 有时也记为 , 称为.

上的二元运算, 称为.

上的一元运算, 称为.

它们满足以下性质:

分别构成交换幺半群. 换言之, 有以下性质:

(结合律) 对任意 , 有

(交换律) 对任意 , 有

(单位律) 对任意 , 有

(吸收律) 对任意 , 有

(分配律) 对任意 , 有

(互补律) 对任意 , 有

在无歧义时, 将这个六元组记为 .

从以上公理出发, 还能得出以下运算律:

(幂等律) 对任意 , 有

对任意 , 有

(对合律) 对任意 , 有

也可以定义下列运算:

定义蕴涵运算

定义对称差运算 以对称差为加法, 以 为乘法, Boole 代数可以看作交换环, 也是有限域 上的交换代数.

等价定义

定义 1.2. Boole 代数是具有最大元、最小元、补的分配格. 即它是偏序集 , 具有最大元 , 最小元 , 每两个元素 具有上确界 , 下确界 , 互相满足分配律, 且每个元素 都有补 , 意思是满足 , .

容易验证此时 构成前述定义的 Boole 代数. 反过来, 对于前述定义的 Boole 代数 , 定义便给了 以分配格结构, 显然具有最大元 , 最小元 , 补 .

定义 1.3. Boole 代数 交换环, 满足对任意 , .

此定义与前述等价. 一方面, 上面已经说过 Boole 代数关于 构成交换环. 在吸收律中代入 即得 . 反过来, 对于如上交换环, 定义 , , , 不难验证 构成前述定义的 Boole 代数. 强调环结构时常称 Boole 环.

2例子

1.

对集合 , 其幂集 关于空集、全集、并、交、补构成 Boole 代数.

2.

集合代数是 Boole 代数. 这是上一例的子代数.

3.

拓扑空间 , 其正则开集代数定义为: 即闭包的内部等于自身的开集, 其中 , , , , . 不难验证这构成 Boole 代数.

4.

测度空间 , 在 上定义等价关系 是 Boole 代数. 它是 的商代数.

3性质

完备性

定义 3.1 (完备 Boole 代数). 说 Boole 代数完备, 指其依定义 1.2 构成完备格, 即具有任意上确界下确界, 而不只是两个元素的上下确界. 此时任意上确界、下确界也称为任意并、交.

以上的例 1, 3 都完备; 当例 4 中的测度为 -有限时, 它也完备.

命题 3.2. 完备 Boole 代数中, 交与任意并分配, 并与任意交分配.

证明. 只证前半句, 后半句一样. 需对任一元素 以及任一族元素 证明由于它们都小于等于 , 只需证 减去它们相等, 即计算上式左边等于右边等于确实相等.

理想

Boole 代数的理想就是其依定义 1.3 视为环的理想. 也就是非空的 , 满足

, , ;

, .

用定义 1.2 的话, 上面第一个条件相当于向下封闭. 商代数 商去等价关系不难验证 的各种运算在 上良定义, 让 成为 Boole 代数.

滤子

滤子是理想的对偶概念, 即 是滤子当且仅当 是理想. 写出来就是 非空且满足

, , ;

, .

用定义 1.2 的话, 上面第一个条件相当于向上封闭.

4相关概念

力迫法

真假值

命题宇宙

术语翻译

Boole 代数英文 Boolean algebra德文 boolesche Algebra法文 algèbre de Boole