有限单群分类

有限单群分类是群论中的一项深刻复杂且意义非凡的浩大工作. 它表明, 对任何有限单群, 其要么归属于 $18$ 个无穷的单群族, 要么是 $26$ 个散在单群之一.

1陈述
单群族
散在单群
2推论
关于阶
关于结构
其他应用
3历史
缘起
萌芽
发展
高潮
冲锋
功成
4相关概念

1陈述

单群族

具体来说, $18$ 个单群族中除了素数阶循环群 $Z_{p}$ 、交错群 $A_{n}$ 以外, 剩下的 $16$ 族都是 Lie 型单群, 它们都有对应的根系. 如下表所示:

名称	记号	阶数	重复
素数阶循环群	$Z_{p} = Z / p Z, p 是素数$	$p$	$Z_{3} ≅ A_{3}$
交错群	$A_{n}, n > 1 n \neq = 2, 4$	$\frac{1}{2} n!$	$A_{3} ≅ Z_{3} A_{5} ≅ A_{1} (4) ≅ A_{1} (5) A_{6} ≅ A_{1} (9) A_{8} ≅ A_{3} (2)$
$A_{n}$ 根系典型 Chevalley 群	$A_{n} (q), n > 0 (n, q) \neq = (1, 2), (1, 3)$	$\frac{q ^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{( n + 1 , q - 1 )} \prod_{i = 1}^{n} (q^{i + 1} - 1)$	$A_{1} (4) ≅ A_{1} (5) ≅ A_{5} A_{1} (7) ≅ A_{2} (2) A_{1} (9) ≅ A_{6} A_{3} (2) ≅ A_{8}$
$B_{n}$ 根系典型 Chevalley 群	$B_{n} (q), n > 1 (n, q) \neq = (2, 2)$	$\frac{q ^{n^{2}}}{( 2 , q - 1 )} \prod_{i = 1}^{n} (q^{2 i} - 1)$	$B_{n} (2^{m}) ≅ C_{n} (2^{m}) B_{2} (3) ≅^{2} A_{3} (2^{2})$
$C_{n}$ 根系典型 Chevalley 群	$C_{n} (q), n > 2$	$\frac{q ^{n^{2}}}{( 2 , q - 1 )} \prod_{i = 1}^{n} (q^{2 i} - 1)$	$C_{n} (2^{m}) ≅ B_{n} (2^{m})$
$D_{n}$ 根系典型 Chevalley 群	$D_{n} (q), n > 3$	$\frac{q ^{n (n - 1)} ( q ^{n} - 1 )}{( 4 , q ^{n} - 1 )} \prod_{i = 1}^{n - 1} (q^{2 i} - 1)$	无
$E_{6}$ 根系例外 Chevalley 群	$E_{6} (q)$	$\frac{q ^{36}}{( 3 , q - 1 )} \prod_{i \in {2, 5, 6, 8, 9, 12}} (q^{i} - 1)$	无
$E_{7}$ 根系例外 Chevalley 群	$E_{7} (q)$	$\frac{q ^{63}}{( 2 , q - 1 )} \prod_{i \in {2, 6, 8, 10, 12, 14, 18}} (q^{i} - 1)$	无
$E_{8}$ 根系例外 Chevalley 群	$E_{8} (q)$	$q^{120} \prod_{i \in {2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30}} (q^{i} - 1)$	无
$F_{4}$ 根系例外 Chevalley 群	$F_{4} (q)$	$q^{24} \prod_{i \in {2, 6, 8, 12}} (q^{i} - 1)$	无
$G_{2}$ 根系例外 Chevalley 群	$G_{2} (q) q \neq = 2$	$q^{6} \prod_{i \in {2, 6}} (q^{i} - 1)$	无
$A_{n}$ 根系典型 Steinberg 群	$^{2} A_{n} (q^{2}), n > 0 n \neq = 1, (n, q) \neq = (2, 2)$	$\frac{q ^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{( n + 1 , q + 1 )} \prod_{i = 1}^{n} (q^{i + 1} - (- 1)^{i + 1})$	$^{2} A_{3} (2^{2}) ≅ B_{2} (3)$
$D_{n}$ 根系典型 Steinberg 群	$^{2} D_{n} (q^{2}), n > 3$	$\frac{q ^{n (n - 1)}}{( 4 , q ^{n} + 1 )} (q^{n} + 1) \prod_{i = 1}^{n - 1} (q^{2 i} - 1)$	无
$E_{6}$ 根系例外 Steinberg 群	$^{2} E_{6} (q^{2})$	$\frac{q ^{36}}{( 3 , q + 1 )} \prod_{i \in {2, 5, 6, 8, 9, 12}} (q^{i} - (- 1)^{i})$	无
$D_{4}$ 根系例外 Steinberg 群	$^{3} D_{4} (q^{3})$	$q^{12} (q^{8} + q^{4} + 1) (q^{6} - 1) (q^{2} - 1)$	无
Suzuki 群	$^{2} B_{2} (q), q = 2^{2 n + 1} n > 0$	$q^{2} (q^{2} + 1) (q - 1)$	无
$F_{4}$ 根系 Ree 群	$^{2} F_{4} (q), q = 2^{2 n + 1} n > 0$	$q^{12} (q^{6} + 1) (q^{4} - 1) (q^{3} + 1) (q - 1)$	无
Tits 群 *	$^{2} F_{4} (2)^{'}, q = 2$	$\frac{1}{2} 2^{12} (2^{6} + 1) (2^{4} - 1) (2^{3} + 1) (2 - 1) = 17971200$	无
$G_{2}$ 根系 Ree 群	$^{2} G_{2} (q), q = 3^{2 n + 1} n > 0$	$q^{3} (q^{3} + 1) (q - 1)$	无

上表格中最右侧的重复一列, 指在一些特别的指标情形下, 会有一些巧合的单群同构. 注意我们已经在第二列的记号中排除了根系本身同构的情况 (例如排除了 $B_{2}, C_{2}$ 根系的同构), 所以这些同构是真正 “有意义” 的.

注 1.1. 按照传统我们把 Tits 群也视作特殊的 $F_{4}$ 根系 Ree 群, 所以上面的表格具有 $19$ 行. 不过也有人认为 Tits 群应该是散在单群. 按 Lie 型有限群条目中的定义, Tits 群不是 Lie 型有限群.

关于这些群的其他叫法以及记号, 补充信息见下面的表格:

Lie 型单群记号	单群别称	通俗记号
$A_{n}$	线性群	$L_{n + 1}, PSL_{n + 1}$
$^{2} A_{n}$	酉群	$U_{n + 1}, PSU_{n + 1}$
$B_{n}$	(奇数阶) 正交群	$O_{2 n + 1}, Ω_{2 n + 1}$
$C_{n}$	辛群	$S p_{2 n}, PSp_{2 n}$
$D_{n}$	(偶数阶) 正型正交群	$O_{2 n}^{+}, P Ω_{2 n}^{+}$
$^{2} D_{n}$	(偶数阶) 负型正交群	$O_{2 n}^{-}, P Ω_{2 n}^{-}$
$G_{2}, F_{4}, E_{n}$	$G_{2}, F_{4}, E_{n}$ (例外) 群	$G_{2}, F_{4}, E_{n}$
$^{2} B_{2}$	Suzuki 群	$^{2} C_{2}, S z, S u z$
$^{3} D_{4}$	三重 $D_{4}$ 群	$^{3} D_{4}$
$^{2} E_{6}$	扭 $E_{6}$ 群	$^{2} E_{6}$
$^{2} F_{4}$	扭 $F_{4}$ 群	$^{2} F_{4}$
$^{2} G_{2}$	Ree 群	$R ee$

散在单群

下面的表格记录了散在的 $26$ 个单群, 散在指它们不同构于上面单群族中的任何一个.

名称、记号与别名	外自同构	极小忠实复表示维数	阶数
Mathieu 群 $M_{11}$	$1$	$10$	$7920$
Mathieu 群 $M_{12}$	$2$	$11$	$95040$
Mathieu 群 $M_{22}$	$2$	$21$	$443520$
Mathieu 群 $M_{23}$	$1$	$22$	$10200960$
Mathieu 群 $M_{24}$	$1$	$23$	$244823040$
Janko 群 $J_{1} = J (1) = J (11)$	$1$	$56$	$175560$
Janko 群 $J_{2} = H J$	$2$	$14$	$604800$
Janko 群 $J_{3} = H J M$	$2$	$85$	$50232960$
Janko 群 $J_{4}$	$1$	$1333$	$86775571046077562880$
Conway 群 $C o_{3}$	$1$	$23$	$495766656000$
Conway 群 $C o_{2}$	$1$	$23$	$42305421312000$
Conway 群 $C o_{1}$	$1$	$276$	$4157776806543360000$
Fischer 群 $F i_{22} = M (22)$	$2$	$78$	$64561751654400$
Fischer 群 $F i_{23} = M (23)$	$1$	$782$	$4089470473293004800$
Fischer 群 $F i_{24}^{'} = M (24)^{'} = F_{3 +}$	$2$	$8671$	$1255205709190661721292800$
Higman–Sims 群 $H S$	$2$	$22$	$44352000$
McLaughlin 群 $M c L$	$2$	$22$	$898128000$
Held 群 $He = HH M = F_{7}$	$2$	$51$	$4030387200$
Rudvalis 群 $R u$	$1$	$378$	$145926144000$
Suzuki 散在群 $S u z = S z$	$2$	$143$	$448345497600$
O’Nan 群 $O^{'} N = O^{'} NS$	$2$	$10944$	$460815505920$
Harada–Norton 群 $H N = F_{5}$	$2$	$133$	$273030912000000$
Lyons 群 $L y = L y S$	$1$	$2480$	$51765179004000000$
Thompson 群 $T h = F_{3}$	$1$	$248$	$90745943887872000$
小魔群 $B = F_{2}$	$1$	$4371$	$4154781481226426191177580544000000$
魔群 $M = M_{1} = F_{1}$	$1$	$196883$	$808017424794512875886459904961710757005754368000000000$

值得一提的是, 除了 $J_{1}, J_{3}, J_{4}, O^{'} N, R u, L y$ 这 6 者以外, 其他 20 个散在单群都能实现为 (大) 魔群 $M$ 的子商. 根据这一关系, 人们将这 20 个魔群的子商称为快乐一族 (Happy Family), 而将剩下 6 个单群称为被流放者 (Pariahs).

而这 $20$ 个群又被进一步细分为三代:

•	第一代是 $M_{11}, M_{12}, M_{22}, M_{23}, M_{24}$ 这 5 个 Mathieu 群, 它们都是 $M_{24}$ 的子商, 和 Steiner 系统的自同构密切相关.

•	第二代是 $C o_{1}, C o_{2}, C o_{3}, S u z, M c L, H S, J_{2}$ 这 7 个群, 它们都是 $C o_{1}$ 的子商, 它们和 Leech 格的自同构密切相关.

•	第三代是 $M, B, F i_{22}, F i_{23}, F i_{24}^{'}, T h, H N, He$ 这 8 个群, 它们是魔群 $M$ 的子商, 基本能实现为魔群中一些低阶元素的中心化子.

在子商偏序 (即 $A \leq B$ 当且仅当 $A$ 是 $B$ 的子群的商) 下, 这 26 个散在单群构成下面的完整图表:

此外, 除了未知是否可行的 $M_{23}$ 以外, 其他 $25$ 个散在单群都已被实现为 $Q$ 有限扩张的 Galois 群.

2推论

关于阶

关于单群的阶, 首先是其具有的不同素因子数量的分析. 素数 $p$ 阶群都是循环群, 素数幂次 $p^{a}$ 阶群都是幂零群, 由 Burnside 定理我们知道阶具有两个不同素因子的 $p^{a} q^{b}$ 阶群都可解, 所以有意义的讨论从三个素因子开始. 此外, Feit–Thompson 定理指出奇数阶非循环群可解, 故不能是单群. 有趣的是除了它们以外, 单群阶数一定是 $4$ 的倍数.

那么有哪些单群仅有三个不同的素因子, 尽管如下结论在 1968 年就已被 Marcel Herzog 证明, 但是不可否认在有了分类定理之后这类定理都将具有更系统的处理办法:

定理 2.1 ( $K_{3}$ 单群的分类). 若有限单群 $G$ 的阶恰具有 $3$ 个素因子, 则该群称为 $K_{3}$ 单群, 这种群一共只有 $8$ 个: $∣ A_{5} ∣ = 60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5, ∣ A_{1} (7) ∣ = 168 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7, ∣ A_{2} (17) ∣ = 2448 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 17, ∣ ∣^{2} A_{2} (3^{2}) ∣ ∣ = 6048 = 2^{5} \cdot 3^{3} \cdot 7, ∣ A_{6} ∣ = 360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5, ∣ A_{1} (8) ∣ = 504 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7, ∣ A_{2} (3) ∣ = 5616 = 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 13, ∣ ∣^{2} A_{3} (2^{2}) ∣ ∣ = 25920 = 2^{6} \cdot 3^{4} \cdot 5.$

类似的我们能定义 $K_{4}$ 单群就是阶恰具有 $4$ 个素因子的单群, 这基本是这种分类能做的上限. 在有限单群分类被证明之后, 人们确实得到了 $K_{4}$ 单群的分类.

定理 2.2 ( $K_{4}$ 单群的分类). 若 $G$ 是 $K_{4}$ 单群, 则 $G$ 同构于下面之一: $A_{7}, A_{8}, A_{9}, A_{10}, M_{11}, M_{12}, J_{2}, A_{1} (q), A_{2} (4), A_{2} (5), A_{2} (7), A_{2} (8), A_{2} (17), A_{3} (3), B_{2} (4), B_{2} (5), B_{2} (7), B_{2} (9), B_{3} (2), D_{4} (2), G_{2} (3),^{2} A_{2} (4^{2}),^{2} A_{2} (5^{2}),^{2} A_{2} (7^{2}),^{2} A_{2} (8^{2}),^{2} A_{2} (9^{2}),^{2} A_{3} (3^{2}),^{2} A_{4} (2^{2}),^{2} B_{2} (2^{3}),^{2} B_{2} (2^{5}),^{3} D_{4} (2^{3}),^{2} F_{4} (2)^{'} .$ 其中 $q$ 使得 $q (q^{2} - 1) / (2, q - 1)$ 具有四个素因子.

人们猜测这个列表是无限的, 因为 $q$ 可以取无限多不同的值. 实际上小于 $1 0^{8}$ 的 $q$ 的合理取值从小到大有: $11, 13, 16, 19, 23, 25, 27, 31, 32, 37, 47, 49, 53, 73, 81, 97, 107, 127, 128, 163, 193, 243, 257, 383, 487, 577, 863, 1153, 2187, 2593, 2917, 4373, 8192, 8747, 131072, 524288, 995327, 1492993, 1594323, 1990657, 5308417, 28311553, 86093443.$

至此, 很容易想象没有单群分类定理, 这样的结果基本是极难被做出的.

然后是小单群的列表, 考虑到篇幅, 我们列出阶不超过 $1 0^{5}$ 的单群如下:

定理 2.3 (小阶单群分类). 若 $G$ 是一个阶数不超过 $1 0^{5}$ 的单群, 则 $G$ 必同构下面列表之一: $∣ A_{5} ∣ = 60, ∣ A_{1} (11) ∣ = 660, ∣ A_{1} (19) ∣ = 3420, ∣ A_{1} (23) ∣ = 6072, ∣ A_{1} (29) ∣ = 12180, ∣ ∣^{2} A_{3} (2^{2}) ∣ ∣ = 25920, ∣ A_{1} (47) ∣ = 51888, ∣ A_{1} (7) ∣ = 168, ∣ A_{1} (13) ∣ = 1092, ∣ A_{1} (16) ∣ = 4080, ∣ A_{1} (25) ∣ = 7800, ∣ A_{1} (31) ∣ = 14880, ∣ ∣^{2} B_{2} (2^{3}) ∣ ∣ = 29120, ∣ A_{1} (49) ∣ = 58800, ∣ A_{6} ∣ = 360, ∣ A_{1} (17) ∣ = 2448, ∣ A_{2} (3) ∣ = 5616, ∣ M_{11} ∣ = 7920, ∣ A_{8} ∣ = 20160 ∣ A_{1} (32) ∣ = 32736, ∣ ∣^{2} A_{2} (4^{2}) ∣ ∣ = 62400, ∣ A_{1} (8) ∣ = 504, ∣ A_{7} ∣ = 2520, ∣ ∣^{2} A_{2} (3^{2}) ∣ ∣ = 6048, ∣ A_{1} (27) ∣ = 9828, ∣ A_{2} (4) ∣ = 20160, ∣ A_{1} (41) ∣ = 34440, ∣ A_{1} (53) ∣ = 74412, ∣ A_{1} (37) ∣ = 25308, ∣ A_{1} (43) ∣ = 39732, ∣ M_{12} ∣ = 95040.$ 注意其中 $20160$ 阶的单群有两个不同的同构类.

此外从上面特殊的 $20160$ 阶数出发, 我们可以反问哪些情况下单群的阶能决定群结构呢? 我们有如下的定理:

定理 2.4. 若两个互不同构的有限单群具有相同的阶, 则恰为以下两种情况之一:

(1) 两个群分别是 $A_{8} ≅ A_{3} (2)$ 和 $A_{2} (4)$ , 它们的阶都是 $20160$ .

(2) 两个群分别是 $B_{n} (q)$ 和 $C_{n} (q)$ , 其中 $q$ 是奇素数, $n \geq 3$ 是正整数, 它们的阶都是 $\frac{q ^{n^{2}}}{2} i = 1 \prod n (q^{2 i} - 1) .$

值得重申的是, 我们已经在前面单群族列表的重复一列中见到 $B_{n} (2^{m}) ≅ C_{n} (2^{m})$ . 包括它在内的其他重复都指的是两个群真的同构, 所以不会在该定理中出现.

关于结构

此外是单群的结构, 首先是关于生成元的讨论. 大概在分类定理完成前, 人们就已经确认了当时已发现的每个单群都能用两个 (至多两个, 循环群只需一个元素) 元素生成. 而在 2000 年 Guralnick 和 Kantor 证明了如下更强的结果:

定理 2.5 (有限单群都是 $\frac{3}{2}$ -生成的). 每个有限单群都是 $\frac{3}{2}$ -生成的. 一个群 $G$ 是 $\frac{3}{2}$ -生成的是指任给定 $G$ 中的非平凡元素 $g_{1} \neq = e$ , 总能找到 $g_{2} \in G$ 使得 $g_{1}, g_{2}$ 生成 $G$ .

由此出发, 在 2008 年 Breuer, Guralnick 和 Kantor 提出了 $\frac{3}{2}$ -生成猜想:

猜想 2.6. 一个有限群 $G$ 是 $\frac{3}{2}$ -生成的当且仅当对每个非平凡正规子群 ${1} \neq = H ⊴ G$ 都有 $G / H$ 是循环群.

经过一些数学家们的努力, 这一猜想已经对可解群证明, 并且对不可解群, 情况已经被化归到几乎单群的情形.

关于单群中元素形式的论断还有 Ore 猜想, 随着分类定理的证明也已经得证:

定理 2.7. 若 $G$ 是有限单群, 则 $G$ 中每个元素都能被写成交换子 $[a, b] = ab a^{- 1} b^{- 1}, a, b \in G$ .

此外, 单群的外自同构也已经被完全讨论清楚, Schreier 在 1926 年提出的猜想随着有限单群分类定理的诞生自然得到了证明:

定理 2.8. 有限单群的外自同构群总是可解的. 准确地说:

(1) 对于素数阶循环群 $Z_{p}$ , 其外自同构群是 $F_{p}^{\times}$ 即 $p - 1$ 阶的循环群;

(2) 对于交错群 $A_{n}$ , 外自同构群对 $n \neq = 6$ 是循环群 $Z /2 Z$ , 对 $n = 6$ 时则是 Klein 群 $(Z /2 Z)^{2}$ ;

(3) 对 $26$ 个散在单群, 其中 $12$ 个具有外自同构 $Z /2 Z$ ; 剩余 $14$ 个外自同构平凡.

(4) 对 Lie 型单群, 它的外自同构群具有正规子群 $D$ , 商为 $F \times Γ$ , 这三个群都是可解群. 其中 $D$ 是对角自同构, 该群是循环群, 粗略地说其阶数是原单群阶数的 “分母” (一般地, 即最大公因子那部分; 特别地, Tits 群时是 $2$ ); $F$ 是 $F_{q^{m}} / F_{p}$ 的基域自同构, 其必然是循环群; $Γ$ 则大抵是 Dynkin 图的自同构, 必然是 $S_{3}$ 的一个子群.

很可惜目前这一结果除了使用分类定理以外没有其他证明.

关于自同构, 如下的无固定点自同构定理也是单群分类的一个推论:

定理 2.9. 一个有限群如果存在一个只固定单位元的自同构, 则它可解.

还有如下关于阶的非平方素因子的结果:

定理 2.10. 如果 $G$ 是单群, $p$ 是素数, 且 $p^{2} ∤ ∣ G ∣$ , 那么 $p^{2} ∤ ∣ Aut (G) ∣$ .

(...)

其他应用

单群分类对特征标理论也有贡献, 例如:

定理 2.11. 对任意有限群 $G$ 和素数 $p$ , $G$ 的度数和 $p$ 互质的不可约特征标的数目等于 $N_{G} (P)$ 的度数和 $p$ 互质的不可约特征标的数目. 其中 $P$ 是 $G$ 的一个 Sylow $p$ -子群.

在 Galois 理论中, 单群分类也有许多应用, 例如对素数次有理系数三项式的 Galois 群:

定理 2.12. 多项式 $f (x) = x^{p} + a x^{k} + b \in Q [x]$ , 其中 $p$ 是素数, $1 \leq k \leq p - 1$ , 则其在 $Q$ 上的 Galois 群 $G$ 必符合下列其一:

(1) $G$ 是可解群.

(2) $G$ 是置换群 $A_{p}$ 或者对称群 $S_{p}$ .

(3) $p = 7$ 且 $G = A_{1} (7)$ .

(4) $p = 11$ 且 $G = A_{1} (11)$ 或 $G = M_{11}$ .

(5) $p = 2^{n} + 1 > 5$ 是 Fermat 素数且 $G$ 同构于一个介于 $A_{1} (2^{n})$ 和 $Aut (A_{1} (2^{n}))$ 间的子群.

单群分类在一些看起来和它不那么相关的领域, 也有一些奇妙的结果:

定理 2.13. 假设 $f, g \in C [x]$ 都是不可分解的多项式, 换言之它们都不能被写成 $h_{1} (h_{2} (x))$ 的形式, 其中 $de g h_{i} \geq 2$ . 那么如果 $f (x) - g (y) \in C [x, y]$ 能被因式分解, 则下面至少其一成立:

(1) $g (x) = f (a x + b)$ 对合适的 $a, b$ .

(2) $de g f = de g g \in {7, 11, 13, 15, 21, 31}$ .

且对 (2) 中的六个数, 确实具有 (1) 不符合的例子.

定理 2.14. 对整体域 $K ⊊ L$ , 我们有相对 Brauer 群 $Br (L / K)$ 是无限群.

该结果乍看起来和分类定理没有关系, 而且看似不困难. 实际上其证明依赖于下面的命题:

命题 2.15. 若 $H < G$ 是有限群的真子群, 则存在素数 $p$ 和一个 $p$ -元素使得它的共轭不落在 $H$ 中.

然而这个命题目前已知的唯一证明是把 $G$ 化归到单群, 然后进行分类讨论.

(...)

3历史

缘起

•	1832 年, Galois 提出了正规子群和单群的概念, 并找到单群族 $A_{n} (n \geq 5)$ 以及 $PSL_{2} (F_{p}) (p \geq 5)$ . 也就是列表中的交错群以及 $A_{1} (p) (p \geq 5)$ . 他最早用交错群研究代数方程的根式可解性.

•	1854 年, Cayley 抽象出了群的概念, 给出了严谨的定义.

•	1861 年, Mathieu 在研究可迁群的过程中, 发现了两个散在单群 $M_{11}, M_{12}$ , 并声称 $M_{24}$ 存在. 这也是最早被发现的几个散在单群.

•	1870 年, Jordan 阐述了寻找有限单群的重要性, 因为 Jordan–Holder 定理可以将一般有限群的研究通过合成群列转化为对有限单群的研究. 不过实际上在那时, 完整的 Jordan–Holder 定理并未诞生, Jordan 只指出了群列中相邻项的商是单群且是某种重要的不变量.

•	同年, Jordan 还指出可以在素域上研究线性群 $A_{n} (p), B_{n} (p), C_{n} (p), D_{n} (p)$ . 在此之前, 人们只在 $R, C$ 这样的域上研究这些群.

•	1872 年, Sylow 证明了 Sylow 定理. 提供了分析有限 $p$ -群的重要工具.

•	1873 年, Mathieu 发现了另外三个散在单群 $M_{22}, M_{23}, M_{24}$ . 实际上, Mathieu 发现的这五个群都反映了某些 Steiner 系统的自同构.

•	1892 年, Holder 证明了非交换的单群的阶必须是至少 $4$ 个 (可以相同) 的素数乘积. 并且提出需要将有限单群的分类提上日程.

•	1893 年, Cole 用完全初等的方法分类了所有阶数不超过 $660$ 的单群, 共 5 个, 其中包括了 $504$ 阶的 $PSL_{2} (8)$ 也就是 $A_{1} (8) =^{2} G_{2} (3)^{'}$ .

萌芽

•	1896 年, Frobenius 和 Burnside 开始研究有限群的特征标理论.

•	1899 年, Burnside 给出了每个对合的中心化子都是非平凡的基本 Abel $2$ -群 (指数 $2$ ) 的偶数阶单群分类, 它们必须是 $A_{1} (2^{q})$ . 该定理也被认为是单群系统分类的第一个定理.

•	1901 年, Frobenius 使用特征标理论证明了 Frobenius 群不是单的, 特别地, 它们必须具有 Frobenius 核与 Frobenius 补而且形如半直积.

•	同年, Dickson 定义了一般有限域上的典型群, 也就是 $A_{n} (q), B_{n} (q), C_{n} (q), D_{n} (q)$ , 并定义了 $E_{6} (q)$ 以及 $G_{2} (q) (2 ∤ q)$ . 不过, 典型群这一名字实则在 1939 年才由 Weyl 提出.

•	同年, Dickson 出版了《Linear groups, with an exposition of the Galois field theory》并试图在其中列举阶小于 $1 0^{6}$ 的单群, 不出意外地漏掉了 Suzuki 群 $S u z (8)$ 和两个散在单群 $J_{1}, J_{2}$ . 正确的列表以及完整之证明将在约 70 年后出现.

•	1904 年, Burnside 使用特征标理论证明了 Burnside 定理, 即 $p^{a} q^{b}$ 阶的群都可解. 换言之, 非交换的有限单群的阶至少存在 $3$ 个不同的素因子.

•	1905 年, Dickson 定义了 $G_{2} (q) (2 ∣ q)$ , 所以该群有时也被称为 Dickson 群.

•	1911 年, Burnside 猜测每个非交换的有限单群都是偶数阶的, 等价地, 每个奇数阶的群都可解.

(第一次世界大战)

•	1928 年, Hall 证明了可解群都具有 Hall 子群. 这是它关于可解群的系列论文中的第一篇.

•	1933 年, Hall 开始研究 $p$ -群. 随后在 1937 年, Hall 提出了关于 $π$ -子群的诸定理, 它们能被看作是诸 Sylow 定理对可解群的一大推广. 这对可解群的研究很有帮助.

•	1935 年, Brauer 开始研究模特征. 虽然早在 Dickson 研究有限域上的典型群时, 他就意识到了特征 $p$ 表示和特征 $0$ 表示颇有相似之处, 而且有限群还具有一些模不变量, 但是关于特征 $p$ -表示的系统研究则由 Brauer 开启. 后来在 1942 年他具体描述了一个群的某些模特征.

•	1936 年, Zassenhaus 分类了有限 $3$ -强可迁群, 并在另一篇论文中修正了一些 Burnside 的关于可迁群的错误处理.

•	1938 年, Fitting 证明了 Fitting 定理并引入了 Fitting 子群, 证明了对可解群, Fitting 子群包含了它的中心化子. 这一工具能帮助人们猜测一些单群到底定义在哪些有限域上, 所以它也是有限单群分类的重要理论工具.

(第二次世界大战)

发展

•	1954 年, Brauer 分类了以 $GL_{2} (q)$ 为某个对合的中心化子的单群.

•	1955 年, Brauer–Fowler 定理被证明. 具体来说, 具有给定对合中心化子的有限单群是有限的, 尽管具体的界本身很大而缺乏实效性, 但这启发人们通过研究对合的中心化子来进行有限单群的分类. 此后, 有限单群分类成果井喷式出现, 正式标志着有限单群的研究进入了全盛期.

•	同年, Chevalley 定义了 Chevalley 群, 成功将所有的有限域上的 Lie 型群统一处理, 由此他也引入了 $F_{4} (q), E_{7} (q), E_{8} (q)$ .

•	1956 年, Hall–Higman 定理被证明. 它分类了 $p$ -可解群的表示中的素数幂阶元素最小多项式的所有情况. 提供了研究可解群以及特征 $p$ 的抛物子群的线性代数工具.

•	1957 年, Suzuki 精巧地证明了奇数阶的单 CA 群 (每个非平凡元的中心化子都是 Abel 群的群) 都是素数阶循环群. 其证明思路为奇数阶群的研究提供了重要工具, 不过由于可解群本身的复杂性, 这结果离证明所有奇数阶群都可解仍然遥远.

•	1958 年, Brauer–Suzuki–Wall 定理被证明. 它分类了有限域上的一维射影特殊线性群, 同时分类了一切单的 CA 群.

•	1959 年, Steinberg 发现了典型 Steinberg 群 $^{2} A_{n} (q^{2}),^{2} D_{n} (q^{2})$ 以及例外 Steinberg 群 $^{3} D_{4} (q^{3}),^{2} E_{6} (q^{2})$ , 其中 $^{2} E_{6} (q^{2})$ 也在几乎同一时间被 Tits 发现. 这些群都是在 Chevalley 的构造上作微小改动得到的, 例如 $^{2} A_{n} (q^{2}),^{2} D_{n} (q^{2})$ 实则是酉群和正交群的某种推广, 所以它们也被称为扭 Chevalley 群.

•	同年, Brauer–Suzuki 定理被证明. 它指出具有四元数 Sylow $2$ -子群 $Q_{8}$ 且没有非平凡奇数阶正规子群的群必有 $2$ 阶中心, 特别地, 它们不是单的.

•	1960 年, Thompson 证明了具有素数阶无不动点的自同构的群都是幂零的.

•	同年, Feit, Hall 和 Thompson 证明了所有奇数阶的单 CN 群 (每个非平凡元的中心化子都是幂零群的群) 都是素数阶循环群. 这推广了 Suzuki 的结果.

•	同年, Suzuki 发现了 Suzuki 群 $^{2} B_{2} (q)$ 并研究了它们的复表示. 实际上这些群也是偶数阶有限单群中, 唯一阶不是 $3$ 倍数的类.

•	1961 年, Ree 发现了 Ree 群 $^{2} F_{4} (q),^{2} G_{2} (q)$ , 可以被认为是 Suzuki 群的另一种推广, 尽管发现它们的方法是不同的. 它们也是最后被发现的 Lie 型单群族, 至此所有单群族都已被发现.

高潮

•	1963 年, Feit–Thompson 定理终于得证, 它宣告了奇数阶群都是可解的. 这篇数百页的证明后来也被群论学家们逐步拆解, 大量细节被优化. 尽管其思想已被研究透彻, 该定理至今没有找到一个较为简短的初等证明.

•	1964 年, Tits 引入了 Lie 型单群的 BN 对, 同时发现了 Tits 群 $^{2} F_{4} (2)^{'}$ , 拼上了 Lie 型单群列表的最后一块拼图.

•	1965 年, Gorenstein–Walter 定理得证. 它分类了具有二面体子群作为 Sylow $2$ -子群的有限群.

•	1966 年, Glauberman 证明了 Z* 定理, 推广了 Brauer–Suzuki 定理. 1968 年, 他证明了 ZJ 定理, 这些定理加深了人们对奇数阶群的理解.

•	同年, Janko 发现了散在单群 $J_{1}$ 并预测了 $J_{2}, J_{3}$ 的存在, 距离 Mathieu 群的发现已经过去了差不多一个世纪, 散在单群的研究被重新开启. 由于该群阶只有 $175560$ , 在单群中该阶算是很小的, 所以这又重新激起了人们寻找散在单群的热情.

•	1968 年, Higman 和 Sims 发现了散在单群 $H S$ . 同年, Conway 发现了三个 Conway 群 $C o_{3}, C o_{2}, C o_{1}$ . 它们和 Leech 格的自同构群有着巨大联系.

•	1969 年, 更多散在单群被发现: Suzuki 发现了 Suzuki 散在群 $S u z$ , Hall 和 Wales 构造了 Janko 群 $J_{2}$ , Higman 和 McKay 构造了 Janko 群 $J_{3}$ , McLaughlin 发现了 $M c L$ , 这些群都和格的自同构息息相关. Held 发现了 $He$ , 这和魔群息息相关.

•	同年, Walter 定理分类了所有具有 Abel Sylow $2$ -子群的有限群. 实际上后来经过 Thompson 等人的仔细分析, 其分类中会产生 Janko 群 $J_{1}$ 以及 Ree 群 $^{2} G_{2} (3^{2 n + 1})$ .

•	同年, Gorenstein 基于 Thompson 的想法, 引入了信号函子, 它的研究是有限单群分类中的关键一步.

•	1970 年, MacWilliams 证明了没有秩 $3$ 正规 Abel 子群的 $2$ -群具有特殊性质, 后来具有此种 Sylow $2$ -子群的有限单群被 Gorenstein 和 Harada 分类.

•	同年, Bender 引入了 Fitting 子群的推广. 这也为有限单群的分类带来了 Bender 方法, 该方法研究推广 Fitting 子群的结构和嵌入, 这在无法研究子群的补群以及信号函子方法无效时显得格外有用.

•	同年, Alperin–Brauer–Gorenstein 定理被证明. 该定理讨论了具有某些特殊 Sylow $2$ -子群的群的性质, 完成了 $2$ -秩至多为 $2$ 的有限单群分类. 此外该分类中会产生 $M_{11}$ .

•	1971 年, Fischer 发现了三个 Fischer 群 $F i_{22}, F i_{23}, F i_{24}$ , 其中 $F i_{24}$ 需要取导群 $F i_{24}^{'}$ 才是单群. 类似于 Mathieu 群, 它们不仅有相似的命名逻辑, 它们也和某些组合结构的自同构具有密切联系.

•	同年, 二次对的分类被 Thompson 完成, 这些群大多是 Lie 型单群.

•	同年, Bender 扩展了 Suzuki 的工作, 分类了具有强嵌入子群的群, 该分类中会产生 Suzuki 群 $^{2} B_{2} (q)$ .

冲锋

•	1972 年, Gorenstein 提出了有限单群分类的 16 步走方针, 吹响了单群分类的冲锋号, 随后其框架的具体细节被快速地填满.

•	同年, Hall 给出了非循环的, 阶数不超过 $1 0^{6}$ 的 $56$ 个单群的列表. 然后它们的特征标列表也在 1979 年由 John McKay 给出.

•	同年, Lyons 和 Sims 发现了散在单群 $L y$ .

•	1973 年, 又有若干散在单群被发现. Rudvalis 发现了散在单群 $R u$ , 由 Conway 与 Wales 完成具体构造. 同年, Fischer 发现了小魔群 $B$ , 并和 Thompson 一起依此发现了大魔群 $M$ , 随后 Thompson 依此发现了 Thompson 群 $T h$ , 同时 Norton 依此发现了 Harada–Norton 群 $H N$ (其中 Harada 用另一种方式独立发现了此群).

•	1974 年, Thompson 分类了 N-群 (非平凡的 $p$ -子群的正规化子都可解的群), 整个证明包含一系列共计 6 篇论文 (1968, 1970, 1971, 1973, 1974, 1974b), 合计约 400 页.

•	同年, Gorenstein–Harada 定理被证明, 把一大类 $2$ -秩单群的分类细分为补群类型与特征 $2$ 类型, 也就是两类更小的情况.

•	同年, Tits 证明了具有 BN 对的, 秩至少为 $3$ 的群都是 Lie 型单群.

•	同年, Aschbacher 分类了具有恰当 $2$ -生成核的群. 它是 Bender 对强嵌入子群分类的推广.

•	1975 年, Gorenstein 和 Walter 证明了 L-平衡定理, 这证明了任意具有连通 Sylow $2$ -子群的有限单群能被分类了.

•	1976 年, O’Nan 发现了散在单群 $O^{'} N$ , 同年, Janko 自己发现了 Janko 群 $J_{4}$ . 也是最后一个被发现的散在单群, 至此, 所有的单群均已被发现.

•	同年, Glauberman 证明了可解信号函子定理.

•	同年, Aschbacher 证明了补群定理, 对一类有限单群建立了标准补群. 此后其他数学家们做了一系列工作对标准补群进行分类.

•	1977 年, Aschbacher 分类了奇特征的 Lie 型群, 这一工作之后, 某种意义上说大部分的单群被分类完成, 从中人们看到了单群分类完成的曙光.

•	1978 年, Timmesfeld 证明了 $O_{2}$ 例外定理, 将 $F_{2}$ -类型的有限单群分成了 8 个小类, 主要都是 Lie 型单群. 此后在若干数学家的努力下, 各个小类也被逐渐分类.

•	同年, Aschbacher 分类了有限薄群, 大抵上说是特征 $2$ 有限域上的秩 $1$ 的 Lie 型群, 这也是 Gorenstein 的 16 步之一.

•	同年, McKay 发现了魔群月光现象, 大抵说 j 函数的 Fourier 级数系数和魔群 $M$ 的不可约表示维数具有密切的关系. 并在 1979 年, 由 Conway 和 Norton 总结了精确的猜想, 并提出了魔群月光一词来描述该现象. 1980 年, Larissa Queen 做了一些计算, 并在其他散在单群上发现了月光现象.

•	1981 年, Bombieri 使用消去理论完成了 Thompson 关于 Ree 群刻画的关键步骤. 这也是整个单群分类中最困难的步骤之一.

•	1982 年, McBride 证明了所有有限群的信号函子定理, Gorenstein 有限单群分类 16 步中的重要一步被完成.

•	同年, Griess 手动构造了魔群.

•	1983 年, 三分定理被证明. 该定理将特征 $2$ 类型, 秩至少为 $3$ 的有限单群分为三类, 一部分被 Gilman–Griess 定理完全刻画; 另一部分被 Aschbacher, Gorenstein 和 Lyons 完全解决. 这包含了 Gorenstein 的 16 步中的数个步骤.

功成

•	还是 1983 年, Gorenstein 声称有限单群分类的初代证明大体完成, 整个证明包含的工作繁多且极其冗长, 而且仍有很多细节尚不完善. 后来 Gorenstein 又将精力投入到寻找更加精简的证明的道路上, 这些工作被称为修正 (revision), 新的证明将被称为二代证明. 这昭示着后分类定理时代的到来, 同时随着分类定理的完成, 群论的发展似乎也渐渐过了全盛期.

•	1985 年, Conway, Curtis, Norton, Parker, Wilson 和 Thackray 出版了《Atlas of Finite Groups》一书, 书中囊括了 $93$ 个有限单群的基本信息.

•	1987 年, Norton 结合 Queen 和他自己的计算提出了推广的月光猜想. 并在 1988 年, 由 Dixon Ginsparg 和 Harvey 找到了该一般猜想的物理解释.

•	1992 年, 有限单群分类的领衔人物 Gorenstein 逝世.

•	同年, Borcherds 证明了魔群月光猜想, 使用的方法具有很强的弦论和数学物理背景.

•	1994 年, Gorenstein 逝世后两年, 他和 Lyons 与 Solomon 的单群分类二代证明系列第一册终于开始出版, 简称 GLS 系列, 计划一共出版十卷.

•	2004 年, Aschbacher 和 Smith 出版了他们关于拟薄群的若干工作, 填补了当时分类定理中的严重的空白. 尽管这些漏洞在上世纪末就已经出现, 不过大部分空白也在那一时期已被填补. 这一大类中包含了一些典型群和许多散在单群, 包括 Mathieu 群, Janko 群, $H S$ , $He$ , $R u$ . 这些内容以及一些后来的工作也加入了 GLS 系列.

•	2008 年, Harada 和 Solomon 修复了一个小漏洞. 由于以前人们对 $M_{22}$ 的 Schur 乘子计算有误, 关于它的一小类情况被前人忽略了.

•	2012 年, Gonthier 和合作者们在 Coq 上完整给出了 Feit–Thompson 定理的证明. 换言之奇数阶群可解的证明的可靠性已经由程序验证.

4相关概念

•	代数群
•	Lie 型单群
•	散在单群
•	根系

术语翻译

有限单群分类 • 英文 classification of finite simple groups

名字空间

视图

有限单群分类

1陈述

单群族

散在单群

2推论

关于阶

关于结构

其他应用

3历史

缘起

萌芽

发展

高潮

冲锋

功成

4相关概念