K3 曲面

在复几何中, K3 曲面是一类二维复流形, 是所有紧、连通二维 Calabi–丘流形中除了复环面以外的那些, 也是所有单连通的那些. K3 曲面都具有 Kähler 流形的结构, 并且, 由于二维 Calabi–丘流形的条件意味着该复流形具有非零的全纯 $2$-形式, 从而是全纯辛形式, 这也赋予了 K3 曲面超 Kähler 流形的结构.

在代数几何中, 也有相应的 K3 曲面的概念, 是指满足类似条件的二维 Calabi–丘簇.

K3 曲面是以 Kummer、Kähler、Kodaira 三人的名字首字母命名的.

1定义

复 K3 曲面

定义 1.1. (复) K3 曲面是指二维紧、连通复流形 $X$, 满足以下条件:

•	$X$ 是 Calabi–丘流形. 即 $X$ 的典范丛 $K_X$ 同构于平凡线丛 ${\mathcal{O}}_X$.

•

$X$ 单连通.

这里, $X$ 单连通的条件仅是为了剔除那些复环面, 因此该条件可以换成很多与之等价的条件.

代数 K3 曲面

定义 1.2. 域 $k$ 上的 (代数) K3 曲面是指 $k$ 上紧合、光滑的代数曲面 $X$, 满足以下条件:

•	$X$ 是 Calabi–丘簇, 即 $X$ 的典范丛 $K_X$ 同构于平凡线丛 ${\mathcal{O}}_X$.

•	凝聚层上同调 $H^1(X,{\mathcal{O}}_X)=0$.

域上的 K3 曲面一定是射影的. 实际上任何光滑完备曲面都是这样, Goodman 证明了只要对这样的曲面取一个非空的仿射开集, 它的补集就是一个丰沛除子.

2例子

例 2.1. 如下方程定义的光滑射影曲面称 Fermat 四次曲面: $$X:=\{x^4+y^4+z^4+w^4=0\}\subset {\mathbb{P}}^3.$$实际上 ${\mathbb{P}}^3$ 中光滑的四次曲面都是 K3 曲面: 因为根据 Lefschetz 超平面定理, $H^1(X)$ 平凡, 而根据法丛正合列, 对 $d$ 次超曲面 $X\subset {\mathbb{P}}^n$ 有 $K_X\cong O(d-n-1){|}_X$. 代入 $d=4,n=3$ 结合 $O(0)$ 是平凡线丛得知 $K_X\cong {\mathcal{O}}_X$.

类似地, ${\mathbb{P}}^4$ 中二次和三次超曲面的完全交是 K3 曲面; ${\mathbb{P}}^5$ 中三个二次超曲面的完全交是 K3 曲面. 以上三者次数分别为 $4,6,8$, 称类型 $(4),(2,3),(2,2,2)$ 的 K3 曲面. 在加权射影空间中有更多类似的完全交例子.

例 2.2. Kummer 曲面构造如下, 考虑一个二维的 Abel 簇 $A$, 商掉关系 $a\mapsto -a$ 后, 得到一个具有 $16$ 个奇点的曲面 $X$, 这些奇点恰好是 $2$-挠的. 它的极小消解 $\tilde{X}$ 也被称为 (光滑) Kummer 曲面, 这是一个 K3 曲面.

特别地, 当 $A$ 是某亏格 $2$ 的曲线的 Jacobi 簇时, Kummer 证明了 $X=A/\pm$ 能作为四次曲面嵌入 ${\mathbb{P}}^3$, 且这 $16$ 个奇点均为节点. 这与上一个例子互相呼应.

我们以复环面 $A={\mathbb{C}}^2/\Gamma$ 为例, 假设 ${\mathbb{C}}^2$ 的坐标为 $(z,w)$, 那么在原点局部, $A$ 上取 $a\mapsto -a$ 的不变函数由 $r=z^2,s=zw,t=w^2$ 生成, 所以 $X$ 在原点附近形如 $rt=s^2$, 因此是一个节点 (du Val 奇点 ${\mathrm{A}}_1$).

现在 $A\to X$ 是分歧覆盖, $A$ 上的处处非零的全纯 $2$-形式 $dz\wedge dw$ 在 $a\mapsto -a$ 下不变, 因此也是 $X$ 上处处非零的全纯 $2$-形式. 在消解下$$dz\wedge dw=\frac{dr\wedge dt}{4zw}=\frac{dr\wedge dt}{4s}.$$进而可以检查它也是极小消解 $\tilde{X}$ 上处处非零的全纯 $2$-形式, 因此 $K_{\tilde{X}}$ 平凡.

最后 $H^1({\mathcal{O}}_{\tilde{X}})\cong H^1({\mathcal{O}}_X)$, 同构于 $H^1({\mathcal{O}}_A)\cong H^{0,1}(A)$ 在 $a\mapsto -a$ 作用下不变的子空间然而 $H^{0,1}(A)$ 的一组基 $dz,dw$, 故 $a\mapsto -a$ 作用下它们都取负, 从而 $H^1({\mathcal{O}}_{\tilde{X}})=0$.

例 2.3. 设 $C\subset {\mathbb{P}}^2$ 是六次曲线. 取 $\mathcal{L}\cong {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}(3)$ 为 $\mathcal{O}(C)\cong {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}(6)$ 的平方根. 换言之, 取定同构 ${\mathcal{L}}^2\cong \mathcal{O}(C)$ 和截面 $\sigma \in \Gamma ({\mathcal{L}}^2)$. 现在考虑二重覆叠 $\pi :X\to {\mathbb{P}}^2$ 在 $C$ 处分歧, 具体来说可以看作 $\mathrm{Tot}({\mathcal{L}}^{\ast })$ 上由局部方程 $t^2=\sigma$ 决定的曲面, 计算得到$${\pi }_{\ast }{\mathcal{O}}_X\cong {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}\oplus {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}(-3).$$于是 $H^1(X,{\mathcal{O}}_X)=0$, 此外典范丛$$K_X\cong {\pi }^{\ast }(K_{{\mathbb{P}}^2}\otimes {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}(3))\cong {\pi }^{\ast }{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}\cong {\mathcal{O}}_X.$$由此可知 $X$ 是 K3 曲面.

椭圆纤维化

一类重要的 K3 曲面的例子是所谓的椭圆纤维化曲面, 这样的 K3 曲面称为椭圆 K3 曲面. 最常见的例子是 $X\to {\mathbb{P}}^1$, 满足除了 ${\mathbb{P}}^1$ 的有限多个点外, 其余点的纤维都是亏格 $1$ 的光滑椭圆曲线. 而在那些点处的纤维则是奇异的有理曲线, Kodaira 曾对其奇异纤维进行分类. 在一般位置下, 由于欧拉示性数的计算, 奇异纤维共有 $\chi =24$ 个, 且每个纤维都是节点椭圆曲线.

例 2.4. 每个含一条直线 $L$ 的 ${\mathbb{P}}^3$ 中光滑四次曲面就是椭圆 K3 曲面. 纤维化由向 $L$ 的投影给出. 另外, ${\mathbb{P}}^3$ 中光滑四次曲面模空间是 $19$ 维的, 其中带有直线者是 $18$ 维的.

一个 K3 曲面 $X$ 具有椭圆纤维化当且仅当存在非零 $u\in \mathrm{Pic}(X)$ 使得 $u^2=0$.

(...)

3性质

•

K3 曲面总具有如下的 Hodge 菱形: $$\begin{array}{ccccc}& & 1& & \\ & 0& & 0& \\ 1& & \text{20}& & 1\\ & 0& & 0& \\ & & 1& & \text{ .}\end{array}$$ 证明. 由复共轭和 Serre 对偶, 除了中间一行外其余 Hodge 数已被决定, 而根据 Dolbeault 上同调性质, $H^{0,2}(X)=H^0(X,K_X)=H^0(X,{\mathcal{O}}_X)=\mathbb{C}$, 故只需证明 $h^{1,1}=20$. 根据曲面的 Noether 公式 (Riemann–Roch 定理), $\chi ({\mathcal{O}}_X)=(K_X\cdot K_X+\chi (X))/12$, 由于 $\chi ({\mathcal{O}}_X)=2$ 以及 $K_X\cdot K_X={\mathcal{O}}_X\cdot {\mathcal{O}}_X=0$, 我们得到 $X$ 的 Euler 示性数 $\chi (X)=24$, 由此可知 $h^{1,1}=20$. $\square$

•	Kodaira 证明了所有 K3 曲面作为 $4$ 维光滑流形都微分同胚. Robert Friedman 和 John Morgan 证明了每个微分同胚于 K3 曲面的复曲面都是 K3 曲面, 但是 Kodaira 和 Michael Freedman 证明了存在一些光滑复曲面同胚于 K3 却不微分同胚于 K3.

•

根据单连通性和万有系数定理, K3 曲面的中间上同调无挠, $H^2(X,\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^{22}$. 它上面具有相交配对或说杯积, 给出非退化的对称双线性型$$⌣:H^2(X,\mathbb{Z})\times H^2(X,\mathbb{Z})\to H^4(X,\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z},$$这结构被称为 K3 格. Poincaré 对偶保证该双线性型是幺模的, 即它的 Gram 矩阵行列式模长为 $1$, 更具体地, 根据 Hodge 指标定理它的指标为 $(3,-19)$, 也就是说正负特征重数为 $3,19$. 而且它满足 $\alpha ⌣\alpha \in 2\mathbb{Z}$ 对一切 $\alpha \in H^2$. 实际上 ${\mathbb{Z}}^{22}$ 上满足上述指标条件和偶自相交条件的幺模双线性型唯一, 为$${\Pi }_{3,19}=(-E_8{)}^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}.$$其中 $E_8$ 表示正定的例外根系${\mathrm{E}}_8$的根格, 而 $U$ 是双曲平面格, 矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$.

•	K3 曲面具有整体 Torelli 定理: 即 K3 曲面被它的 Hodge 结构决定. 实际上如果 K3 曲面 $X,Y$ 间具有 $H^2(X,\mathbb{Z})\to H^2(Y,\mathbb{Z})$ 的 Hodge 同构, 即要求它保护 K3 格的相交形式, 且诱导 $H^0(X,K_X)\subset H^2(X,\mathbb{C})$ 到 $H^0(Y,K_Y)$ 的同构, 则 $X,Y$ 同构.

4参考文献

•	Daniel Huybrechts (2016). Lectures on K3 surfaces. Cambridge University Press. (doi) (zbMATH) (pdf)

5相关概念

术语翻译

K3 曲面 • 英文 K3 surface • 德文 K3-Fläche (f) • 法文 surface K3 (f) • 日文 K3 曲面 • 韩文 K3 곡면 (K3 曲面)